利用递归树计算递归算法时间复杂度

什么是递归树

递归的思想就是，将大问题分解为小问题来求解，然后再将小问题分解为小小问题。这样一层一层地分解，直到问题的数据规模被分解得足够小，不用继续递归分解为止。
如果我们把这个一层一层的分解过程画成图，它其实就是一棵树。我们给这棵树起一个名字，叫作递归树。
斐波那契数列的递归树

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利用递归树计算归并排序的时间复杂度

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1. 每次分解都是一分为二，所以代价很低，我们把时间上的消耗记作常量1。归并算法中比较耗时的是归并操作，也就是把两个子数组合并为大数组。从图中我们可以看出，每一层归并操作消耗的时间总和是一样的，跟要排序的数据规模有关。我们把每一层归并操作消耗的时间记作n
2. 现在，我们只需要知道这棵树的高度h，用高度h乘以每一层的时间消耗n，就可以得到总的时间复杂度O(n*h)。
3. 归并排序递归树是一棵满二叉树。我们前两节中讲到，满二叉树的高度大约是logn，所以，归并排序递归实现的时间复杂度就是O(nlogn)

快排的时间复杂度

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1. 每层的操作的时间总和是一样的，跟要排序的数据规模有关。我们把每一层归并操作消耗的时间记作n

2. 快排不是1/2的区分，所以不是满二叉树。算出最短路径和最长路径

   
   
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3. 对数复杂度的底数不管是多少，我们统一写成logn。时间复杂度是O(nlogn)

斐波那契数列递归算法时间复杂度

O(2^n)