代码随想录 -- day41 -- 343. 整数拆分 、96.不同的二叉搜索树

343. 整数拆分

思路：

动态规划：
1、确定dp数组以及下标的定义：

dp[i]:表示拆分数字i，所得到的最大的乘积

2、确定递归方程：

从1开始遍历j，从两个渠道得到dp[i]。比如拆分5。

1、从j *(i - j)获取 ---- 这个就是当前遍历拆分的数字等于 1 * (5 - 1)

2、从j * dp[i - j]获取，这个就是可能拆分为2个数字来看乘积不是最大值，那我就把4拆了比如拆成(1, 1, 3)

递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));

3、dp的初始化

我们直接默认dp[2] = 1，然后从3 开始遍历。

4、确定遍历顺序：

dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。

for (int i = 3; i <= n ; i++) {
    for (int j = 1; j < i - 1; j++) {
        dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
    }
}

因为拆分一个数n使乘积最大化，但是一定是拆分成m个相似的数。比如7 拆 成 3, 4 。10 拆 成 3,3,4.可以确定m肯定是大于等于2的，所以我们可以让j遍历到i/2就可以了。

5、举例推导dp

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector dp(n + 1);
        dp[2] = 1;
        for (int i = 3; i <= n ; i++) {
            for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
                dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

---

96.不同的二叉搜索树

画图举例：

n = 1的时候只有一棵树，自己为头结点

n = 2的时候有两个

n = 3 的时候有五个

文字描述n=3的情况：

dp[3] = 元素1为头结点的情况 + 元素2为头结点的情况 + 元素3为头结点的情况

头结点为1 的情况：右子树有两个节点和左子树有0个节点。

头结点为2的情况：右子树有1个节点和左子树有1个节点。

头结点为3的情况：右子树有0个节点和左子树有2个节点。

有2个元素的搜索树为dp[2]

有1个元素的搜索树为dp[1]

有0个元素的搜索树为dp[0]

dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

动态规划：

1、确定dp数组

dp[i]为 i为头结点的搜索树的数量

2、确定递归公式

dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]:j - 1是 j 为头结点的左子树的数量，i - j为 以 j 为头结点的右子树的数量。

3、dp数组初始化

dp[0] = 1

4、确定遍历顺序：

需要考虑j - 1所以前向遍历

5、举例推导：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector dp(n + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};