高中奥数 2021-08-09

2021-08-09-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P002 例1）

如图,设点在的外接圆上,直线和相交于点,直线和相交于点,边的垂直平分线交边于点,边的垂直平分线交边于点,求证:

.

(2005年女子数学奥林匹克)

图1

证明

如图,连结

,

而由四点共圆,知,故,又由,知,故

.(1)

同理.(2)

由(1),(2)得.

由此,,(3)

.(4)

将(3),(4)两式的左端和右端分别相乘即得结论.

2021-08-09-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P002 例2）

和是两个全等的等边三角形,六边形的边长分别记为,,,,,.求证:.

图2

证明

如图,因为,再根据各组对顶角相等知.

依次设上述六个三角形面积为:,则有

.

设其比值为,则由得

,即.

2021-08-09-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P003 例3）

如图,圆、内切于点,圆的弦与圆切于点,是弧(不含点)的中点,过点作,垂足为,记圆的半径为.

求证:.(2009女子数学奥林匹克)

证明

图3

如图作出圆的直径.

因是两圆、的切点,即位似中心,而、为两圆上的位似对应点,故、、三点共线.

由相交弦定理得.

又由,得.