全纯函数的名字

复变函数是定义在复平面上的函数，全纯函数是复变函数中的一个重要内容，可是全纯函数的名字有很多叫法，这些叫法之间有什么关系呢？就比如同样一个物体，有人看到了这个特点，就给它叫这个名字，有的人看到了另一个特点就叫另一个名字。全纯函数最常用的名字，有人叫它解析函数，为什么叫解析函数呢？这是因为任何一个区域内的全纯函数可以在区域内任一点展开成幂级数，幂级数就是表达式，就是解析式，所以看到这一点的人，就将全纯函数叫做解析函数。因为幂级数的应用比较广泛，解析式又是比较常用的数学工具，但是解析函数这个概念在其他数学学科中还没有，因此解析函数就成了全纯函数的代名词了。

可微分的函数，是全纯函数的有一个名字，这是因为从微分的角度来看复函数，复函数在一点可导就是可微分，如果在该点的某个邻域内处处可导，这个点就是解析点，就是全纯的点，而且更重要的是，一个全纯函数在区域内可以计算任意阶导数，也就是可以任意阶微分，人们看到全纯函数的这个特点和性质，就把全纯函数叫做可微分的函数，但是这里的可微分函数要和数学分析内的可微分函数有区别，这里的可微分函数指的是可微分的复函数，而且是任意可微分的，这是从全纯函数可微分方面来命名的。

正则函数也是全纯函数的名字，正则函数本来在高等数学中就是指的能展开成幂级数的函数，就称为正则函数，将这个定义推广到复变函数中，正则函数就是复变函数中的全纯函数了，也是从解析函数的特点来命名的。

保形函数是有一个名字，这是从几何图形的变化之间来看全纯函数的，复变函数的自变量是复数，函数值也是复数，这样的四维图形是做不出来的，因此人们想到了用一个平面是自变量所在的平面，另一个平面就是函数值的平面，复变函数就可以研究这两个平面上图形的对应关系，而这种对应关系中，全纯函数作为映射具有保形的特点，因此全纯函数又叫保形映射或者保形变换或者保形函数。
来源：公众号-复析数理