LeetCode刷题复盘笔记—一文搞懂动态规划之132. 分割回文串 II问题（动态规划系列第二十九篇）

今日主要总结一下动态规划的一道题目，132. 分割回文串 II

题目：132. 分割回文串 II

Leetcode题目地址

题目描述：
给你一个字符串 s，请你将 s 分割成一些子串，使每个子串都是回文。

返回符合要求的 最少分割次数 。

示例 1：

输入：s = “aab”
输出：1
解释：只需一次分割就可将 s 分割成 [“aa”,“b”] 这样两个回文子串。

示例 2：

输入：s = “a”
输出：0

示例 3：

输入：s = “ab”
输出：1

提示：

1 <= s.length <= 2000
s 仅由小写英文字母组成

本题重难点

这道题可以说是 一文搞懂动态规划之5. 最长回文子串问题的进阶版本
我们来讲一讲如何使用动态规划，来解决这道题目。

关于回文子串，两道题目题目大家是一定要掌握的。
5.最长回文子串 和 647.回文子串基本一样的

这两道题目是回文子串的基础题目，本题也要用到相关的知识点。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]：范围是[0, i]的回文子串，最少分割次数是dp[i]。

2. 确定递推公式
   来看一下由什么可以推出dp[i]。
   如果要对长度为[0, i]的子串进行分割，分割点为j。
   那么如果分割后，区间[j + 1, i]是回文子串，那么dp[i] 就等于 dp[j] + 1。
   这里可能有同学就不明白了，为什么只看[j + 1, i]区间，不看[0, j]区间是不是回文子串呢？
   那么在回顾一下dp[i]的定义： 范围是[0, i]的回文子串，最少分割次数是dp[i]。
   [0, j]区间的最小切割数量，我们已经知道了就是dp[j]。
   此时就找到了递推关系，当切割点j在[0, i] 之间时候，dp[i] = dp[j] + 1;
   本题是要找到最少分割次数，所以遍历j的时候要取最小的dp[i]。
   所以最后递推公式为：dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1);
   注意这里不是要 dp[j] + 1 和 dp[i]去比较，而是要在遍历j的过程中取最小的dp[i]！
   可以有dp[j] + 1推出，当[j + 1, i] 为回文子串

3. dp数组如何初始化
   首先来看一下dp[0]应该是多少。
   dp[i]： 范围是[0, i]的回文子串，最少分割次数是dp[i]。
   那么dp[0]一定是0，长度为1的字符串最小分割次数就是0。这个是比较直观的。
   在看一下非零下标的dp[i]应该初始化为多少？
   在递推公式dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1) 中我们可以看出每次要取最小的dp[i]。
   那么非零下标的dp[i]就应该初始化为一个最大数，这样递推公式在计算结果的时候才不会被初始值覆盖！
   如果非零下标的dp[i]初始化为0，在那么在递推公式中，所有数值将都是零。
   非零下标的dp[i]初始化为一个最大数。
   代码如下：

vector<int> dp(s.size(), INT_MAX);
dp[0] = 0;

4. 确定遍历顺序
   根据递推公式：dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1);
   j是在[0，i]之间，所以遍历i的for循环一定在外层，这里遍历j的for循环在内层才能通过 计算过的dp[j]数值推导出dp[i]。

代码如下：

for (int i = 1; i < s.size(); i++) {
    if (isPalindromic[0][i]) { // 判断是不是回文子串
        dp[i] = 0;
        continue;
    }
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        if (isPalindromic[j + 1][i]) {
            dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1);
        }
    }
}

大家会发现代码里有一个isPalindromic函数，这是一个二维数组isPalindromic[i][j]，记录[i, j]是不是回文子串。

那么这个isPalindromic[i][j]是怎么的代码的呢？

就是其实这前讲过最长回文子串的代码：一文搞懂动态规划之5. 最长回文子串问题
所以先用一个二维数组来保存整个字符串的回文情况。

代码如下：

vector<vector<bool>> isPalindromic(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
    for (int j = i; j < s.size(); j++) {
        if (s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || isPalindromic[i + 1][j - 1])) {
            isPalindromic[i][j] = true;
        }
    }
}

5. 举例推导dp数组

以输入：“aabc” 为例：

C++代码

class Solution {
public:
    int minCut(string s) {
        vector<vector<bool>>isPalindromic(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        for(int i = s.size() - 1; i >= 0; i--){
            for(int j = i; j < s.size(); j++){
                if(s[i] == s[j] && (j - i <= 1 || isPalindromic[i + 1][j - 1])){
                    isPalindromic[i][j] = true;
                }
            }
        }
        vector<int>dp(s.size(), INT_MAX);
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i < s.size(); i++){
            if(isPalindromic[0][i]){
                dp[i] = 0;
                continue;
            }
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(isPalindromic[j + 1][i]){
                    dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[s.size() - 1];
    }
};

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总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

这篇文章主要总结了使用动态规划解决132. 分割回文串 II问题，
这道题必须要掌握的最长回文子串题目一文搞懂动态规划之5. 最长回文子串问题的进阶版本，依然是使用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才能更清楚的理解题目！