读《复杂》之“复杂性科学”

复杂性科学是什么？复杂性科学是一门新科学，一门新科学的形成过程，就是不断尝试对其“中心概念”进行定义的过程。复杂性科学是一门综合性跨学科科学，它以多学科理论为基础，又高屋建瓴地将多学科联系在一起。这里讲从动力学和混沌预测、信息、科学、进化四个科学领域来挖掘复杂性科学的理论基石。

力学分为运动学和动力学两部分。运动学描述物体如何运动，即运动学定律；动力学解释物体为何遵循运动学定律。牛顿顿的三大定律是动力学的基础，根据牛顿的动力学定律，任何事物的发展轨迹都是可以被预测，他描绘的“钟表宇宙”设置好初始状态，然后遵循牛顿三大定律一直运行下去，预测未来变为可能。据此理论推导，复杂性系统是可以被精确预测的。

但是，“混沌”的发现给“精确预测”沉重打击。混沌指的是指一些系统对于初始条件有敏感性依赖，极其微小的偏差，都会对长期预测产生巨大的误差，这类系统称为混沌系统。历史上，第一个混沌系统例子是庞加莱试图解决的“三体问题”时发现的对初始条件的敏感性依赖。

混沌系统对初始条件的敏感性依赖，导致其不确定性和不可预测性。那是什么因素导致系统对初始条件的敏感性依赖？非线性。

线性系统中部分之和等于整体，非线性系统中部分之和不等于系统。生物种群数量发展系统就是一个非线性系统，与线性系统不同的是，种群数量受到出生率，死亡率，以及环境最大承载力的限制。

比如一种方案是一定数量的兔子放在一岛上繁衍，第二种方案是同样数量的兔子分开两部分，分别在两个岛上繁衍，几年后，第二种方案的兔子总量会大于第一种方案。这是因为环境承载力因素导致了系统非线性。研究种群数量常用“逻辑斯蒂模型"来描述种群数量的增长。

“逻辑斯蒂映射”是动力系统理论和混沌研究中最著名的方程，它抓住了混沌的本质“对初始条件的敏感性依赖。”

x_(n+1) = R * x_n * (1-x_n)

当R=2时x_n的时会最终停在0.5，不再变化，0.5即为不动点。

同样R的值增加(R=2.1,2.2,2.3等等)，X_n的值最终都会停在一个对应的不动点，如0.6,0.7,0.8等

当R=3.1时，X最终会在两个值之间振荡，系统周期为2.

当R=3.4时，X最终会在四个值之间振荡，系统周期为4.

当R=3.54和3.55之间的某个值，时振荡周期变为8

.........

周期一次又一次倍增，前后R的间隔也越来越小。

当R等于大约3.569946时，X的值不再进入振荡，变为混沌。

以上三种X值的最终状态分别称为：不动点，周期，混沌。

逻辑斯蒂映射非常简单，而且完全确定性，却可以产生混沌。

逻辑蒂映射映射从数学理论推导出混沌本质上具有普适性：

一、通往混沌的倍周期之路

      如上述的随着R值变化，X值从不动点，然后是2周期振荡，4周期，8周期，一直下去，直到混沌。

二、费根鲍姆常数

当R = 3.569946时，X值出现混沌。这个数学常量在实际物理动力系统中得到证实，包括流体，电路，激光和化学反应。

我们对混沌系统有了新的认识：

混沌的行为有可能来自确定性的系统，无须外部的随机源。

简单的确定性系统的长期变化，由于对初始条件的敏感依赖性，即使在原则上也无法预测。

混沌系统具有普适性，虽然在无法精确预测，但在更高层面上混沌系统却是可以预测的。