基于python实现贪心算法、蛮力法、动态规划法解决分数背包问题和0-1背包问题(附完整源码下载)
背包问题算法设计
问题要求在一个物品集合中选择合适的物品放入背包，在放入背包中的物品总重量不超过背包容量的前提下，希望放入背包的物品总价值最大。根据是否允许部分物品放入背包的要求，背包问题可以分为【分数背包问题】和【0-1背包问题】。
1. 概要设计
- 分数背包问题，使用贪心算法得到最优解。
- 0-1背包问题，若求近似解，使用贪心算法；若求最优解，则分别使用蛮力法、动态规划法及记忆功能改进的动态规划法求解，对于两种动态规划法，返回最终得到的动态规划表。
算法具体功能设计流程如图:
2. 具体算法设计
- 贪心算法
①求分数背包问题最优解，其思想是求出每个物品的单位价值，并由高至低依次选择物品放入背包，若物品重量小于等于背包容量，则放入背包；否则，将物品进行拆分，将部分物品装进背包中。当背包剩余容量为0时，停止循环，返回最优总价值。函数设计如下：
def Greedy_F(n,c): #贪心算法求解分数背包问题最优解
#n表示物品个数,c表示背包容量
global opt1
Sumvalue1 = 0 #记录背包内物品总价值
opt1 = [0]*n #记录选择的物品
danwei_v = []
for i in range(n):
d = v[i]/w[i] #计算物品单位价值
danwei_v.append(d)
value = list(enumerate(danwei_v)) #enumerate()函数将物品序号与其对应单位价值组合为一组数对
value.sort(key=lambda a: a[1], reverse=True) #按物品单位价值降序排序
while c > 0:
for i in range(n):
if w[value[i][0]] <= c:
Sumvalue1 += v[value[i][0]]
opt1[value[i][0]] = w[value[i][0]]
c -= w[value[i][0]]
else:
Sumvalue1 += c*danwei_v[value[i][0]]
opt1[value[i][0]] = c
else:
break
return Sumvalue1 #返回最优总价值
②求0-1背包问题近似解，首先求出每个物品的单位价值，利用循环语句，每次选择单位价值最高的物品装入背包，若物品重量小于等于背包容量，则放入背包，否则，比较下一个物品，直到背包剩余容量为0或已经遍历完所有物品时，停止循环，返回最优总价值。函数设计如下：
def Greedy_I(n,c): #贪心算法求解0-1背包近似解
global opt2
Sumvalue2 = 0
opt2 = [0]*n
danwei_v = []
for i in range(n):
d = v[i]/w[i]
danwei_v.append(d)
value = list(enumerate(danwei_v))
value.sort(key=lambda a: a[11], reverse=True)
while c > 0:
for i in range(n):
if w[value[i][0]] <= c:
Sumvalue2 += v[value[i][0]]
opt2[value[i][0]] = 1
c -= w[value[i][0]]
else:
break
return Sumvalue2
- 蛮力法
求0-1背包问题最优解。首先穷举物品的全部子集，设置一个记录最大价值的变量maxvalue，遍历所有子集，计算每个子集物品的总重量，若能装入背包，且当前的背包价值大于maxvalue，则将当前值赋值给maxvalue，最后循环遍历完所有的物品组合得到最优解，函数设计如下：
def Brute(n,c): #蛮力法求解0-1背包最优解
a = [0,1]
l = list(product(a,repeat=n))
#求解[0,1]中元素的全排列组合，repeat=n表示单个元素最大重复次数
maxvalue = 0 #记录最大价值
global opt3
opt3 = []
for i in range(len(l)): #遍历所有子集
sumweight = 0 # 将总重量与总价值清零，计算下一子集
sumvalue = 0
for j in range(n):
sumweight += l[j][i]*w[j] #计算子集的总重量
sumvalue += l[j][i]*v[j]
if sumweight <= c and sumvalue > maxvalue: #判断该子集物品能否装入背包，并与最大价值比较进行更新
maxvalue = sumvalue
opt3 = list(l[i])
return maxvalue
- 动态规划法
动态规划算法求0-1背包问题最优解，初始化动态规划表，表中所有元素为0。单元格F(i,j)表示i个物品，承重量为j的背包最优解时的物品总价值，根据递推关系式：
利用循环逐行填表，最后一个单元格的值F(n,c)即为所要求的的最大总价值，函数设计如下：
def DP(n,c): #动态规划法求解0-1背包问题最优解
for i in range(1,n+1):
for j in range(1,c+1):
if j-w[i-1] < 0:
F1[i][j] = F1[i-2][j] #F1为初始化动态规划表，且为全局变量
else:
F1[i][j] = max(F1[i-1][j],F1[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])
return F1[n][c] #最大总价值
- 记忆功能改进动态规划算法
该算法重点在于维护一个类似自底向上动态规划算法使用的表格，初始化动态规划表，表中第一行和第一列元素均为0，其他元素为-1，表明该单元格还没有被计算过。F(i,j)表示i个物品，承重量为j的背包最优解时的物品总价值。首先检查表中单元格的值是否小于0，若小于0，根据动态规划法的递推关系式使用递归调用进行计算，将返回的结果记录在表中，否则，直接返回单元格中的值。函数设计如下：
def MFK(i,j): #记忆功能改进动态规划法
value = 0
if F2[i][j] < 0: #F2为初始化动态规划表，且为全局变量
if j < w[i-1]:
value = MFK(i-1,j)
else:
value = max(MFK(i-1,j),v[i-1]+MFK(i-1,w[i-1]))
F2[i][j] = value #注意缩进
return F2[i][j]
- 回溯表格单元求最优子集的组成元素
利用while循环及条件判断语句，从最后一个单元格开始，若F[i][j]>F[i-1][j],表明物品i以及F[i-1][j-w[i]]的一个最优子集包括在最优解中；否则，物品i不是最优子集的一部分，比较F[i-1][j]与F[i-2][j]，当回溯至背包剩余容量为0时，返回最优解。函数设计如下：
def show(F,n,c): #F为动态规划表
global opt4
opt4 = [0]*n #记录物品选择状态
i = n
j = c
while c > 0:
if F[i][j] > F[i-1][j]:
opt4[i-1] = 1
j -= w[i - 1]
c -= w[i - 1]
i -= 1
else:
i -= 1
return opt4
3. 项目测试
考虑下列数据给出的实例：
- 分数背包问题
通过贪心算法求得最优总价值为38.333，最优解为{物品2，物品3，物品4}，物品3只有2/3放入了背包。
- 0-1背包问题
1、贪心算法求其近似解，得到最大总价值为37，近似解为{物品1，物品2，物品4}。
2、蛮力法、动态规划法、记忆功能改进的动态规划法求最优解，得到最优总价值为37，最优解为{物品1，物品2，物品4}。可以看出，动态规划表F1中每个单元格的值都进行了计算，在F2中，-1表示没有计算的值，即只计算了11个值，从而应用记忆功能改进后，动态规划法的效率得到了提高。
根据测试结果可以看出，对于该实例，用贪心算法得到的近似解与蛮力法等得到的最优解是一样的，即该近似解就是最优解，但该算法并不总是能给出最优解，反例如下：
利用贪心算法得到近似解为{物品1}，总价值为40；而利用蛮力法得到最优解为{物品2，物品3}，最优总价值为50，即该近似解不是最优解。
完整源码下载
基于python实现贪心算法、蛮力法、动态规划法解决分数背包问题和0-1背包问题源码+项目说明及注释.zip