Fano's propensity rule

在量子力学中，不同态之间的跃迁满足选择定则 (selection rule)，它规定了跃迁初始态和末态之间的角动量的可能关系。倾向规则 (propensity rule) 则基于另外一个事实，即不是所有允许的跃迁都是等概率的，也就是说跃迁有倾向性的 。

单光子电离 ()

当电子吸收一个光子后，一般更倾向于跃迁到角动量增加的态 [1]。简单起见，仅考虑径向部分跃迁矩阵元，

其中 是径向部分跃迁算符。由 WKB 近似，波函数近似写成 , 其中 . 最终近似写成

当电子吸收一个光子 () 过程中，角动量 倾向于增加 ()，此时 , 由于 .

双光子电离 ()

在这篇文章 [2] 中，他们将这个倾向定则推广到了双光子过程，电子先吸收一个 XUV 光子被电离，再吸收一个红外 (IR) 光子。

跃迁矩阵为

其中，, 和 分别是初态，中间态和末态。中间态和末态的角动量分别为 . 则是磁量子数。 中的加减号分别代表吸收 (+) 和发射 (-) 出一个 IR 光子的过程。各种跃迁情况下 ，跃迁矩阵的比值结果如图。

image

(a) . (b) . (c) .

文章 [2] 相比 [1] 给出了一致但定量的结果。值得注意的是，考虑跃迁过程角动量变化，需要同时考虑角向部分和径向部分，这两者存在竞争关系。当 较小时 (如图 a 中)，出现了比值小于 1 的情况，即吸收光子的过程中电子的角动量更倾向于减少。

References

[1] Phys. Rev. A 32, 617 (1985).
[2] Phys. Rev. Lett. 123, 133201 (2019).

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