2023牛客暑假多校第三场（补题向题解：B）

挺可惜的，B题破题点思路已经想到了，但手忙脚乱最终没写出来，又因为赛程紧张也没来得及及时补，最近才开始着手补这些落下的题。

B Auspiciousness（组合数学 + DP）

题意

随机排序的 $1\sim 2n$ 共 $2n$ 张卡牌，一开始获得第一张牌，接着摸下一张卡牌并按给定的策略猜测下一张卡牌比当前卡牌大/小，猜对可以继续进行，否则游戏结束，（猜错的那张卡牌也算摸到手上了），问所有可能的排列能摸到的卡牌数量之和是多少。
猜牌的策略：若当前卡牌 $a_i\le n$，则猜下一张卡牌更大，否则猜下一张卡牌更小。

思路

链接：B Auspiciousness
关键的破题点： 如果猜对，那么说明肯定是如下情况，设猜对牌序列 $a$ 长度为 $k$。
若当前 $a_i\le n$，$a_{i+1}>n/a_{i+1}<a_i$。
若当前 $a_i>n$，$a_{i+1}\le n/a_{i+1}>a_i$。
即一定是 $\le n$ 的牌升序排列 与 $>n$ 的牌降序排列交错。
$k<2n$ 则最后还可以摸到一张猜错的牌。

修改一下题目意思，只有当猜错或者猜对所有牌时才能拿走牌，对结果没有影响。
考虑dp方程 $f[i][j][2]:$ 总共摸 $i$ 张牌，其中 $\le n$ 的牌还剩下 $j$ 张，且最后一段序列摸的牌是升序的 $\le n$的/ 降序的 $>n$ 的都猜对的牌（对猜错的情况不做统计，只是计入答案）。

具体转移看代码，有详细注释。

#include 
using namespace std;

#define ll long long
const int N =  610;

int n, m, p;

ll f[N][N][2]; // 打出i张牌，<= n 的牌还有j张， 且当前一段选小于等于n/大于n的合法（没猜错）方案数
ll C[N][N], fac[N]; // 组合数学 / 阶乘
void init(){
	fac[0] = 1;
	for(int i = 1; i <= m; i ++) fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
    for(int i = 0; i <= m; i ++){
        for(int j = 0; j <= i; j ++){
            if(i == j || j == 0) C[i][j] = 1;
            else C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % p;
        }
    }
}

void add(ll& a, ll b){
    a = (a + b) % p;
}

void solve(){
    cin >> n >> p;
    m = 2 * n;

    init();
    ll ans = 0;
    memset(f, 0, sizeof f);
    f[0][n][0] = f[0][n][1] = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) { // 枚举当前打出的牌的总数
        for(int j = 0; j < i; j ++){ // 枚举上一次打出的牌的总数
            // 本次一口气打出 i - j 张升序或降序的牌
            for(int k = 0; k <= n; k ++){ // 枚举上一次打完牌，还剩多少小于等于n的牌
                ll sum = n - (j - (n - k)), need = i - j; // sum:大于n的牌还剩下多少，当前需要打出的牌的数量
                
                if(f[j][k][0] && sum >= need){
                    add(f[i][k][1], f[j][k][0] * C[sum][need] % p); // 没有猜错，可以接着猜
                    if(sum >= need + 1){ // 猜错一张牌，可以拿走的牌的数量
                    	ll res = f[j][k][0] * C[sum][need + 1] % p * need % p * fac[m - i - 1] % p * (i + 1) % p;
                        //转移的状态  * 从sum张牌摸 need + 1 张降序的牌 * (任选一张非最大的牌放到最后当做猜错的牌) * 后续对结果无影响的牌排列的可能性 * 摸的牌的数量(i + 1)
                        ans = (ans + res) % p;
                    }
                }
                if(f[j][k][1] && k >= need){ // 同理
                    add(f[i][k - need][0], f[j][k][1] * C[k][need] % p);
                    if(k >= need + 1){
                    	ll res = f[j][k][1] * C[k][need + 1] % p * need % p * fac[m - i - 1] % p * (i + 1) % p;
                        ans = (ans + res) % p;
                    }
                }
            }
        }
    }
    ans = (ans + ((f[m][0][0] + f[m][0][1]) % p) * m % p) % p; // 全部猜对
    cout << ans << "\n";
}

int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while(t --){
        solve();
    }
    return 0;
}