【数据结构】二叉树

一、树的基本概念

1.1、树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

                 

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i 
<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继因此，树是递归定义的

递归定义：大问题化成一个个小问题，并一个个解决 。

 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

1.2、树的相关概念

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6。
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点。

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点。

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6。

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4。

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点。

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先。

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

 1.3、树的储存

方法一（单个存储）

一个个存放节点，有多少个写进去多少个节点。

struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode child1;
    struct TreeNode child1;
    struct TreeNode child1;
    struct TreeNode child1;
    ......
};

方法二（数组存储法）

用数组存储节点

将孩子节点存放在指针结构体数组中，有多少存多少，改变N的数量，存放进去。

#define N 3

struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode* childArr[N];
    //顺序表存储孩子指针
};

方法三（左孩子右兄弟）

firstchild指针指向第一个孩子节点，用nextbrother指针找到后后续的孩子节点，从左向右依次找完。

struct TreeNode
{
    int val;
    struct TreeNode *firstchild;
    struct TreeNode *nextbrother;
};

                      

方法四（双亲表示法）

如何判断两个节点在不在同一棵树上呢？

我们只需要找根，如果根就在同一棵树上。

1.4、树在实际中的应用

表示文件系统的目录树结构

二、 二叉树

2.1、二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

 

2.2、现实中的二叉树

       

2.3、特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.4、二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 ＝ ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=. (ps：是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1=n否则无左孩子
3. 若2i+2=n否则无右孩子

三、堆

3.1、堆的概念

如果有一个关键码的集合K = { ， ， ，…， }，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储在一个一维数组中，并满足： <= 且 <=  ( >= 且 >= ) i = 0，1，2…，则称为小堆(或大堆)。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

3.2、堆的性质

1. 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
2. 堆总是一棵完全二叉树。

               

3.3、练习题

答案只有   A

A:                       100

                 60                 70

           50      32        65             大根堆