高中奥数 2021-06-12

2021-06-12-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合的运算刘诗雄子集族 P43 例1）

试证:任一有限集的全部子集可以排定次序,使得任何相邻的两个子集都相差一个元素.

分析

不妨设有限集.先来看一些简单情形.

当时,显然可以排成:;

当时,共有个子集,可排成:;

显然符合条件的排序方式不是惟一的.请注意时的上述排法:所有子集可分为两组,前4个子集都不含元素3;后4个均含元素3,且去掉3后恰是前4个子集排列的逆序.事实上,时也如比.这说明我们可以考虑用数学归纳法来证明.

证明

设有限集为,我们对进行归纳.

当时,,将它的两个子集排列成即可.

假设当时,命题成立.当时,
它是由集合添加元素而形成的.的子集个数为.由归纳假设知,可将的全体子集排成满足题设要求的一列,不妨设就是这样的一个排列.

我们来看排列它恰好由的个不同子集排成,且任意两个相邻集合的元素都仅相关1个.可见当时,例题也成立.

所以,对任意的,所述命题成立.

2021-06-12-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合的运算刘诗雄子集族 P43 例2）

在某次竞选中各政党作出种不同的诺言,有些政党可以作某些相同的诺言.现知其中每两个政党都至少作了一个相同的诺言,但没有两个政党的诺言完全相同.求证:政党个数.

证明

设有个政党.以记所有诺言的集合,记第个政党的诺言的集合.由题设知

因.故,即不同于任何一个政党的诺言的集合,所以各不相同,而它们的个数不超过集合的所有子集的数目,即.

所以.

2021-06-12-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合的运算刘诗雄子集族 P43 例3）

设正整数,个不同的正整数有下列性质:对集合的任何两个不同的非空子集和,中所有数的和与中所有数的和都不会相等.在上述条件下,求的最大值.

分析

因为的任何两个不同的非空子集的各自元素之和不相等,由集合元素的互异性及正整数二进制表示的惟一性的启示,似乎集合中的数应是形如的数.下面的工作就是由此展开的.

解

不妨设.

先证明对任意自然数,都有

用反证法.若,则的每个非空子集的元素和不会超过.但有个非空子集,根据抽屉原理,必有两个非空子集的元素和相等,这与题设矛盾.故成立.

接着证明:

事实上, $\begin{aligned}& 1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}-\left(\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}\right) \\=& \dfrac{a_{1}-1}{a_{1}}+\dfrac{a_{2}-2}{2 a_{2}}+\cdots+\dfrac{a_{n}-2^{n-1}}{2^{n-1} a_{n}}\end{aligned}$

令.显然,且

于是我们有 $\begin{aligned} & 1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}-\left(\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}}\right) \\= & \sum\limits_{i=1}^{n} C_{i} d_{i} \\= & C_{1} D_{1}+C_{2}\left(D_{2}-D_{1}\right)+\cdots+C_{n}\left(D_{n}-D_{n-1}\right) \\= & \left(C_{1}-C_{2}\right) D_{1}+\left(C_{2}-C_{3}\right) D_{2}+\cdots+\left(C_{n-1}-C_{n}\right) D_{n-1}+C_{n} D_{n} \\\geqslant &0 \end{aligned}$

故得证.

注意到,当时,题设条件成立.此时有
因此,所求的最大值是.

高中奥数 2021-06-12

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