【每日一题Day323】LC630课程表 III | 动态规划 反悔贪心

课程表 III【LC630】](https://leetcode.cn/problems/course-schedule-iii/)

这里有 n 门不同的在线课程，按从 1 到 n 编号。给你一个数组 courses ，其中 courses[i] = [durationi, lastDayi] 表示第 i 门课将会 持续 上 durationi 天课，并且必须在不晚于 lastDayi 的时候完成。

你的学期从第 1 天开始。且不能同时修读两门及两门以上的课程。

返回你最多可以修读的课程数目。

interesting

动态规划

• 思路

  • 状态定义：$dp[i]$截至日期为$i$时最多可以完成的课程数

  • **状态转移：**每门课程的结束时间范围为$[cours{e}_0,cours{e}_1]$，可以由结束时间为$[0,cours{e}_0]$时的状态转移得到
    $$dp[j]=ma{x}_{counrs{e}_0\le j\le cours{e}_1}(dp[j-cours{e}_0]+1,dp[j])$$

  • **遍历顺序：**每层枚举course，内层逆序枚举时间

• 实现

  class Solution {
      public int scheduleCourse(int[][] courses) {
          Arrays.sort(courses, (o1, o2) -> o1[1] - o2[1]);
          int n = courses.length;
          int maxTime = courses[n - 1][1];
          int[] dp = new int[maxTime + 1];// 截至日期为i时最多可以完成的课程数
          for (int[] course : courses){
              for (int j = course[1]; j >= course[0]; j--){
                  dp[j] = Math.max(dp[j - course[0]] + 1, dp[j]);
              }
          }
          int res = 0;
          for (int count : dp){
              res = Math.max(res, count);
          }
          return res;
      }
  }
  

  • 复杂度
    • 时间复杂度：$O(n\log n+n^2)$
    • 空间复杂度：$O(\log n+n)$

反悔贪心

• 思路

  • 局部最优：结束时间较早的课程优先进行
  • 反悔贪心：当某一时刻能够完成的课程数量相同时，优先完成时长较短的课程，以使后续能完成更多的课程
  • 全局最优：相同时间上更多的课

• 实现

  使用大顶堆存储每门课程的耗时，并记录当前所有课程的总耗时time

  • 如果能完成当前课程，那么time增加$course[0]$，将该课程放入堆中
  • 如果不能完成当前课程，那么判断能否减少总耗时
    • 如果能将堆顶元素移除，将该课程放入堆中
    • 如果不能，不做任何操作
  • 最后返回堆中元素个数

  class Solution {
      public int scheduleCourse(int[][] courses) {
          Arrays.sort(courses, (a, b) -> a[1] - b[1]); // 按照 lastDay 从小到大排序
          PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a); // 最大堆
          int day = 0; // 已消耗时间
          for (int[] c : courses) {
              int duration = c[0], lastDay = c[1];
              if (day + duration <= lastDay) { // 没有超过 lastDay，直接学习
                  day += duration;
                  pq.offer(duration);
              } else if (!pq.isEmpty() && duration < pq.peek()) { // 该课程的时间比之前的最长时间要短
                  // 反悔，撤销之前 duration 最长的课程，改为学习该课程
                  // 节省出来的时间，能在后面上完更多的课程
                  day -= pq.poll() - duration;
                  pq.offer(duration);
              }
          }
          return pq.size();
      }
  }
  
  作者：灵茶山艾府
  链接：https://leetcode.cn/problems/course-schedule-iii/solutions/2436667/tan-xin-huan-neng-fan-hui-pythonjavacgoj-lcwp/
  来源：力扣（LeetCode）
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  • 复杂度
    • 时间复杂度：$O(n\log n)$
    • 空间复杂度：$O(n)$