概率论与数理统计 第二章 随机变量及其分布

课前导读

有时样本空间不一定是数集，不便用数学方法来处理。为了能进行定量的数学处理，必须要把随机试验的结果数量化。因此引入了随机变量，将样本空间转化为一个无量纲的数集。

第一节 随机变量及其分布

一、随机变量的定义

随机变量：对样本空间中的每一个样本点，有唯一一个实数与它对应。

随机变量一般用大写字母 等来表示，随机变量的取值一般用小写字母 等来表示。

离散型随机变量：一个随机变量的取值有限或可列
非离散型随机变量：一个随机变量的取值充满了数轴上的一个区间。连续型随机变量就是非离散型随机变量中最常见的一类。

随机变量的引入是概率论发展走向成熟的一个标志，引入随机变量后，可以使用数学中的微积分工具讨论随机变量的分布。

二、随机变量的分布函数

分布函数的定义：

由该定义可得：

三、离散型随机变量及其分布律

若随机变量X的值域为有限集或可列集，此时称X为（一维）离散型随机变量。
分布律(分布列、概率函数)：

四、连续型随机变量及其密度函数

当描述连续性随机变量时，用于描述离散型随机变量的分布律就无法再使用了，而要改用概率密度函数。

概率密度函数的定义：

概率密度函数与分布函数之间的关系：

连续型随机变量具有下列性质：

这一性质可以帮助我们判断一个非离散型随机变量是否为连续型随机变量。如果一个非离散型随机变量不存在离散的点，它的概率不为0，则该随机变量为连续型随机变量。

第二节 常用的离散型随机变量

一、二项分布

伯努利试验：随机试验只有两种结果和。设A在一次试验中发生的概率,则
n重伯努利试验：将该随机试验独立重复地进行n次。

记随机变量表示A事件发生的次数，在n重伯努利试验中事件发生K次，即的概率为：

称随机变量服从参数为的二项分布，记为

特别地，当时，，此时称随机变量服从参数为的0-1分布（或伯努利分布、两点分布）。相应的分布律为：

二、 泊松分布

泊松分布于1837年由法国数学家播送首次提出。
泊松分布的定义：

泊松分布也是一种常用的离散型分布，它常常与技术过程相联系。

泊松分布还有一个非常有用的性质：可以作为二项分布的一种近似。
在二项分布计算中，当较大时，计算结果非常不理想，如果较小而适中时，我们常用泊松分布的概率值近似取代二项分布的概率值。

泊松定理：当时，有，则

三、超几何分布

不放回地抽取则为超几何分布。

若将不放回抽样改成有放回抽样，则这个模型就是n重伯努利试验。

即在实际应用中，当时，抽取个数n远小于产品总数N时，每次抽取后，总体中的不合格率改变很微小，所以不放回抽样可以近似地看成有放回抽样，这时超几何分布可用二项分布近似。

四、几何分布与负二项分布

1. 在伯努利试验中，设随机变量X表示A事件首次出现时已经实验的次数，记为。
   

几何分布具有无记忆性的性质，这个条件概率只与n有关，与m无关。

2. 负二项分布
   负二项分布时几何分布的一个延申。
   在伯努利试验中，设随机变量X表示A事件第r次出现时已经试验的次数，记为，r=1时即为几何分布。
   

第三节 常用的连续型随机变量

一、均匀分布

记为

均匀分布的随机变量X，在其取值范围中的任何子区间取值的概率仅与该区间长度d有关而与区间的位置c无关。

二、指数分布

记为

服从指数分布的随机变量只能取非负实数，它常被用作各种“寿命”分布，如电子元件的寿命、随机服务系统中的服务时间等。

指数分布在可靠性与排队论中有着广泛的应用。

同样，指数分布同几何分布相似，也具有无记忆性。

三、正态分布

又称为高斯分布，记为
称为位置参数
称为尺度参数，越小，曲线越陡峭。
当时，相应的正态分布称为标准正态分布，记为

正态分布有如下性质：

有如下定理：

第四节 随机变量函数的分布

随机变量函数的定义：

一、离散型随机变量函数的分布

二、连续型随机变量函数的分布

定理1：

定理2：

这个定理说明正态分布的随机变量线性函数仍然服从正态分布。

扩展阅读

六西格玛法则。