【数据结构】 二叉搜索树的实现

二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值

• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值

• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

比如以下就为一个人二叉搜索树

int[] array ={5,3,4,1,7,8,2,6,0,9};

二叉搜索树功能实现

我们创建一个二叉树如下所示，方便后续操作：

    class TreeNode {
        public int key ;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;
        public TreeNode(int key) {
            this.key = key;
        }
    }
    public TreeNode root;//根节点

查找关键字key

若根节点不为空：

• 如果根节点key==查找key，返回true
• 如果根节点key > 查找key，在其左子树查找
• 如果根节点key < 查找key，在其右子树查找

否则，返回false

代码实现：

    public Boolean find(int key) {
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null) {
            if (key == cur.key) {
                return true;
            } else if (key < cur.key) {
                cur = cur.left;
            } else {
                cur = cur.right;
            }
        }
        return false;
    }

插入关键字key

插入操作可以分为以下两种情况：

1. 如果树为空树，即根 == null，直接插入
2. 如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点
   

代码实现：

    public void insert(int key) {
        if(root == null) {
            root = new TreeNode(key);
            return;
        }
        TreeNode cur = root;
        TreeNode parent = null;
        while (cur != null) {
            if (key == cur.key) {
                return ;
            } else if (key < cur.key) {
                parent = cur;
                cur = cur.left;
            } else {
                parent = cur;
                cur = cur.right;
            }
        }
        TreeNode node = new TreeNode(key);
        if (key < parent.key) {
            parent.left = node;
        } else {
            parent.right = node;
        }
    }

删除关键字key

设待删除结点为 cur, 待删除结点的双亲结点为 parent，我们又可以分为四种情况

1. cur.left == null

• cur 是 root，则 root = cur.right
• cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right
• cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right

如下图所示：

2. cur.right == null

1. cur 是 root，则 root = cur.left
2. cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left
3. cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left

与·上述情况类似，不做过多赘述

3. cur.left != null && cur.right != null

需要使用替换法进行删除，即在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键码最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题

我们使用target来遍历寻找右子树中关键码最小的节点，targetParent用来记录target的父亲节点

找到相应节点后与待删除的cur节点的值进行替换

最后删除target结点即可

4. cur左右孩子均不存在

直接置为null就好

代码实现：

   private void removeNode(TreeNode parent, TreeNode cur) {
        if(cur.left == null) {
            if(cur == root) {
                root = cur.right;
            }else if(parent.left == cur) {
                parent.left = cur.right;
            }else {
                parent.right = cur.right;
            }
        }else if(cur.right == null) {
            if(cur == root) {
                root = cur.left;
            }else if(parent.left == cur) {
                parent.left = cur.left;
            }else {
                parent.right = cur.left;
            }
        }else {
            TreeNode target = cur.right;
            TreeNode targetParent = cur;
            while (target.left != null) {
                targetParent = target;
                target = target.left;
            }
            cur.key = target.key;
            if(target == targetParent.left) {
                targetParent.left = target.right;
            }else {
                targetParent.right = target.right;
            }
        }
    }

搜索二叉树性能分析

插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。

对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。

但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树，其平均比较次数为：

最差情况下，二叉搜索树退化为单支树，其平均比较次数为：

⭕总结

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