经典排序算法总结
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文章目录
- 一、 冒泡排序
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- 1.1 排序原理
- 1.2 代码实现
- 1.3 测试
- 1.4 时间复杂度分析
- 二、 选择排序
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- 2.1 排序原理
- 2.2 代码实现
- 2.3 排序原理
- 2.4 时间复杂度分析
- 三、插入排序
-
- 3.1 排序原理
- 3.2 代码实现
- 3.3 测试
- 3.4 时间复杂度分析
- 四、 希尔排序
-
- 4.1 排序原理
- 4.2 增长量规则
- 4.3 代码实现
- 4.4 测试
- 4.5 时间复杂度分析
- 五、 归并排序
-
- 5.1 排序原理
- 5.2 代码实现
- 5.3 测试
- 5.4 时间复杂度分析
- 六、 快速排序
-
- 6.1 排序原理
- 6.2 代码实现
- 6.3 测试
- 6.4 时间复杂度分析
- 七、 排序的稳定性
一、 冒泡排序
1.1 排序原理
比较相邻的元素。如果前一个元素比后一个元素大，就交换这两个元素的位置。对每一对相邻元素做同样的工作，从开始第一对元素到结尾的最后一对元素。最终最后位置的元素就是最大值。
1.2 代码实现
注释非常清晰,可以参考理解
public class Bubble {
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a){
//外层循环控制需要剩余排序的数量
for(int i=a.length-1;i>0;i--){
//内层循环进行判断
for(int j=0;j<i;j++){
//比较索引j和索引j+1处的值,当前元素大于下一个元素则进行交换
if (greater(a[j],a[j+1])){
//进行交换
exch(a,j,j+1);
}
}
}
}
/*
比较v元素是否大于w元素
*/
private static boolean greater(Comparable v,Comparable w){
return v.compareTo(w)>0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a,int i,int j){
Comparable temp;
temp = a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=temp;
}
}
1.3 测试
public class BubbleTest {
public static void main(String[] args) {
Integer[] arr = {4,5,6,3,2,1};
Bubble.sort(arr);
System.out.println(Arrays.toString(arr));
}
}
1.4 时间复杂度分析
冒泡排序使用了双层for循环，其中内层循环的循环体是真正完成排序的代码，所以，我们分析冒泡排序的时间复杂度，主要分析一下内层循环体的执行次数即可。
在最坏情况下，也就是假如要排序的元素为{6,5,4,3,2,1}逆序，那么：
元素比较的次数为：
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;
元素交换的次数为：
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;
总执行次数为：
(N2/2-N/2)+(N2/2-N/2)=N^2-N;
按照大O推导法则，保留函数中的最高阶项那么最终冒泡排序的时间复杂度为O(N^2)
二、 选择排序
2.1 排序原理
1. 每一次遍历的过程中，都假定第一个索引处的元素是最小值，和其他索引处的值依次进行比较，如果当前索引处的值大于其他某个索引处的值，则假定其他某个索引出的值为最小值，最后可以找到最小值所在的索引
2. 交换第一个索引处和最小值所在的索引处的值
2.2 代码实现
public class Selection {
/**
* 对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a){
//外层循环中【-2】是因为排序如果只剩最后一个,那么也无需排序
for(int i=0;i<=a.length-2;i++){
//定义一个变量，记录最小元素所在的索引，默认为参与选择排序的第一个元素所在的位置
int minIndex = i;
//因此默认排序的索引从【i+1】开始
for(int j=i+1;j<a.length;j++){
//需要比较最小索引minIndex处的值和j索引处的值；
if (greater(a[minIndex],a[j])){
minIndex=j;
}
}
//交换最小元素所在索引minIndex处的值和索引i处的值
exch(a,i,minIndex);
}
}
/*
比较v元素是否大于w元素
*/
private static boolean greater(Comparable v,Comparable w){
return v.compareTo(w)>0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a,int i,int j){
Comparable temp;
temp = a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=temp;
}
}
2.3 排序原理
public class SelectionTest {
public static void main(String[] args) {
//原始数据
Integer[] a = {4,6,8,7,9,2,10,1};
Selection.sort(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));//{1,2,4,5,7,8,9,10}
}
}
2.4 时间复杂度分析
选择排序使用了双层for循环，其中外层循环完成了数据交换，内层循环完成了数据比较，所以我们分别统计数据交换次数和数据比较次数：
数据比较次数：
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;
数据交换次数：
N-1
时间复杂度：N2/2-N/2+（N-1）=N2/2+N/2-1;
根据大O推导法则，保留最高阶项，去除常数因子，时间复杂度为O(N^2)
三、插入排序
3.1 排序原理
-
把所有的元素分为两组，已经排序的和未排序的； -
找到未排序的组中的第一个元素，向已经排序的组中进行插入 -
倒叙遍历已经排序的元素，依次和待插入的元素进行比较，直到找到一个元素小于等于待插入元素，那么就把待插入元素放到这个位置，其他的元素向后移动一位；
3.2 代码实现
public class Insertion {
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a){
//因为0索引处的第一个元素默认已排序,所以需要排序的元素索引从1开始
for(int i=1;i<a.length;i++){
for(int j=i;j>0;j--){
//比较索引j处的值和索引j-1处的值，如果索引j-1处的值比索引j处的值大，则交换数据，如果不大，那么就找到合适的位置了，退出循环即可；
if (greater(a[j-1],a[j])){
exch(a,j-1,j);
}else{
break;
}
}
}
}
/*
比较v元素是否大于w元素
*/
private static boolean greater(Comparable v,Comparable w){
return v.compareTo(w)>0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a,int i,int j){
Comparable temp;
temp = a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=temp;
}
}
3.3 测试
public class InsertionTest {
public static void main(String[] args) {
Integer[] a = {4,3,2,10,12,1,5,6};
Insertion.sort(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));//{1,2,3,4,5,6,10,12}
}
}
3.4 时间复杂度分析
插入排序使用了双层for循环，其中内层循环的循环体是真正完成排序的代码，所以，我们分析插入排序的时间复杂度，主要分析一下内层循环体的执行次数即可。
最坏情况，也就是待排序的数组元素为{12,10,6,5,4,3,2,1}，那么：
比较的次数为：
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;
交换的次数为：
(N-1)+(N-2)+(N-3)+…+2+1=((N-1)+1)*(N-1)/2=N^2/2-N/2;
总执行次数为：
(N2/2-N/2)+(N2/2-N/2)=N^2-N;
按照大O推导法则，保留函数中的最高阶项那么最终插入排序的时间复杂度为O(N^2)
四、 希尔排序
希尔排序是插入排序的一种，又称 缩小增量排序 ，是 插入排序 \color{#0AF}{插入排序} 插入排序算法的一种更高效的改进版本
4.1 排序原理
1. 选定一个增长量h，按照增长量h作为数据分组的依据，对数据进行分组
2. 对分好组的每一组数据完成插入排序
3. 减小增长量，最小减为1，重复第二步操作
4.2 增长量规则
//循环结束后我们就可以确定h的最大值；
int h=1
while(h<5){
h=2h+1；
}
h的减小规则为：
h=h/2
4.3 代码实现
public class Shell {
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a){
//1.根据数组a的长度，确定增长量h的初始值；
int h = 1;
while(h<a.length/2){
h=2*h+1;
}
//2.希尔排序
while(h>=1){
//排序
//2.1.找到待插入的元素
for (int i=h;i<a.length;i++){
//2.2把待插入的元素插入到有序数列中
for (int j=i;j>=h;j-=h){
//待插入的元素是a[j],比较a[j]和a[j-h]
if (greater(a[j-h],a[j])){
//交换元素
exch(a,j-h,j);
}else{
//待插入元素已经找到了合适的位置，结束循环；
break;
}
}
}
//减小h的值
h= h/2;
}
}
/*
比较v元素是否大于w元素
*/
private static boolean greater(Comparable v,Comparable w){
return v.compareTo(w)>0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a,int i,int j){
Comparable temp;
temp = a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=temp;
}
}
4.4 测试
public class ShellTest {
public static void main(String[] args) {
Integer[] a = {9,1,2,5,7,4,8,6,3,5};
Shell.sort(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));//{1,2,3,4,5,5,6,7,8,9}
}
}
4.5 时间复杂度分析
- 在希尔排序中，增长量h并没有固定的规则，有很多论文研究了各种不同的递增序列，但都无法证明某个序列是最好的
- 我们可以使用事后分析法对希尔排序和插入排序做性能比较。
- 通过测试发现，在处理大批量数据时，
希尔排序的性能确实高于插入排序
五、 归并排序
归并排序是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用。将已有序的子序列合并，得到完全有序的序列；即先使每个子序列有序，再使子序列段间有序。若将两个有序表合并成一个有序表，称为二路归并。
5.1 排序原理
尽可能的一组数据拆分成两个元素相等的子组，并对每一个子组继续拆分，直到拆分后的每个子组的元素个数是1为止。将相邻的两个子组进行合并成一个有序的大组；不断的重复步骤2，直到最终只有一个组为止。
归并原理:
5.2 代码实现
public class Merge {
//归并所需要的辅助数组
private static Comparable[] assist;
/*
比较v元素是否小于w元素
*/
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w)<0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
Comparable t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}
/*
对数组a中的元素进行排序
*/
public static void sort(Comparable[] a) {
//1.初始化辅助数组assist；
assist = new Comparable[a.length];
//2.定义一个lo变量，和hi变量，分别记录数组中最小的索引和最大的索引；
int lo=0;
int hi=a.length-1;
//3.调用sort重载方法完成数组a中，从索引lo到索引hi的元素的排序
sort(a,lo,hi);
}
/*
对数组a中从lo到hi的元素进行排序
*/
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
//做安全性校验；
if (hi<=lo){
return;
}
//对lo到hi之间的数据进行分为两个组
int mid = lo+(hi-lo)/2;// 5,9 mid=7
//分别对每一组数据进行排序
sort(a,lo,mid);
sort(a,mid+1,hi);
//再把两个组中的数据进行归并
merge(a,lo,mid,hi);
}
/*
对数组中，从lo到mid为一组，从mid+1到hi为一组，对这两组数据进行归并
*/
private static void merge(Comparable[] a, int lo, int mid, int hi) {
//定义三个指针
int i=lo;
int p1=lo;
int p2=mid+1;
//遍历，移动p1指针和p2指针，比较对应索引处的值，找出小的那个，放到辅助数组的对应索引处
while(p1<=mid && p2<=hi){
//比较对应索引处的值
if (less(a[p1],a[p2])){
assist[i++] = a[p1++];
}else{
assist[i++]=a[p2++];
}
}
//遍历，如果p1的指针没有走完，那么顺序移动p1指针，把对应的元素放到辅助数组的对应索引处
while(p1<=mid){
assist[i++]=a[p1++];
}
//遍历，如果p2的指针没有走完，那么顺序移动p2指针，把对应的元素放到辅助数组的对应索引处
while(p2<=hi){
assist[i++]=a[p2++];
}
//把辅助数组中的元素拷贝到原数组中
for(int index=lo;index<=hi;index++){
a[index]=assist[index];
}
}
}
5.3 测试
public class MergeTest {
public static void main(String[] args) {
Integer[] a = {8,4,5,7,1,3,6,2};
Merge.sort(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));//{1,2,3,4,5,6,7,8}
}
}
5.4 时间复杂度分析
最终得出的归并排序的时间复杂度为：log2(n)* 2^(log2(n))=log2(n)*n
根据大O推导法则，忽略底数，最终归并排序的时间复杂度为O(nlogn)
缺点：
- 需要申请额外的数组空间，导致空间复杂度提升，是典型的以空间换时间的操作。
通过测试，发现希尔排序和归并排序在处理大批量数据时差别不是很大
六、 快速排序
6.1 排序原理
-
首先设定一个分界值，通过该分界值将数组分成左右两部分；
-
将大于或等于分界值的数据放到到数组右边，小于分界值的数据放到数组的左边。此时左边部分中各元素都小于或等于分界值，而右边部分中各元素都大于或等于分界值；
-
然后，左边和右边的数据可以独立排序。对于左侧的数组数据，又可以取一个分界值，将该部分数据分成左右两部分，同样在左边放置较小值，右边放置较大值。右侧的数组数据也可以做类似处理。
-
重复上述过程，可以看出，这是一个递归定义。通过递归将左侧部分排好序后，再递归排好右侧部分的顺序。当左侧和右侧两个部分的数据排完序后，整个数组的排序也就完成了。
切分原理：
5. 找一个基准值，用两个指针分别指向数组的头部和尾部；
-
先从尾部向头部开始搜索一个比基准值小的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置； -
再从头部向尾部开始搜索一个比基准值大的元素，搜索到即停止，并记录指针的位置； -
交换当前左边指针位置和右边指针位置的元素； -
重复2,3,4步骤，直到左边指针的值大于右边指针的值停止。 -
当两个指针相遇时,该索引处值与基准值交换
无法理解可以看这篇文章对快速排序讲解非常细致:快速排序
6.2 代码实现
public class Quick {
/*
比较v元素是否小于w元素
*/
private static boolean less(Comparable v, Comparable w) {
return v.compareTo(w) < 0;
}
/*
数组元素i和j交换位置
*/
private static void exch(Comparable[] a, int i, int j) {
Comparable t = a[i];
a[i] = a[j];
a[j] = t;
}
//对数组内的元素进行排序
public static void sort(Comparable[] a) {
int lo = 0;
int hi = a.length-1;
sort(a,lo,hi);
}
//对数组a中从索引lo到索引hi之间的元素进行排序
private static void sort(Comparable[] a, int lo, int hi) {
//安全性校验
if (hi<=lo){
return;
}
//需要对数组中lo索引到hi索引处的元素进行分组（左子组和右子组）；
int partition = partition(a, lo, hi);//返回的是分组的分界值所在的索引，分界值位置变换后的索引
//让左子组有序
sort(a,lo,partition-1);
//让右子组有序
sort(a,partition+1,hi);
}
//对数组a中，从索引 lo到索引 hi之间的元素进行分组，并返回分组界限对应的索引
public static int partition(Comparable[] a, int lo, int hi) {
//确定分界值
Comparable key = a[lo];
//定义两个指针，分别指向待切分元素的最小索引处和最大索引处的下一个位置
int left=lo;
int right=hi+1;
//切分
while(true){
//先从右往左扫描，移动right指针，找到一个比分界值小的元素，停止
while(less(key,a[--right])){
if (right==lo){
break;
}
}
//再从左往右扫描，移动left指针，找到一个比分界值大的元素，停止
while(less(a[++left],key)){
if (left==hi){
break;
}
}
//判断 left>=right,如果是，则证明元素扫描完毕，结束循环，如果不是，则交换元素即可
if (left>=right){
break;
}else{
exch(a,left,right);
}
}
//交换分界值
exch(a,lo,right);
return right;
}
}
6.3 测试
public class QuickTest {
public static void main(String[] args) {
Integer[] a= {6, 1, 2, 7, 9, 3, 4, 5, 8};
Quick.sort(a);
System.out.println(Arrays.toString(a));//{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
}
}
6.4 时间复杂度分析
- 因此快速排序的最差时间复杂度和冒泡排序是一样的都是
O ( n^2^ ) - 它的平均时间复杂度为
O ( n log ~2~ n )
七、 排序的稳定性
数组arr中有若干元素，其中A元素和B元素相等，并且A元素在B元素前面，如果使用某种排序算法排序后，能够保证A元素依然在B元素的前面，可以说这个该算法是稳定的。
如果一组数据只需要一次排序，则稳定性一般是没有意义的，如果一组数据需要多次排序，稳定性是有意义的。例如要排序的内容是一组商品对象，
第一次排序按照价格由低到高排序，第二次排序按照销量由高到低排序，如果第二次排序使用稳定性算法，就可以使得相同销量的对象依旧保持着价格高低的顺序展现，只有销量不同的对象才需要重新排序。这样既可以保持第一次排序的原有意义，而且可以减少系统开销。
冒泡排序 \color{#0AF}{冒泡排序} 冒泡排序
只有当arr[i]>arr[i+1]的时候才会交换元素的位置而相等的时候并不交换位置，所以冒泡排序是一种稳定排序算法。
选择排序 \color{#0AF}{选择排序} 选择排序
选择排序是给每个位置选择当前元素最小的,例如有数据{5(1)，8 ，5(2)， 2， 9 },第一遍选择到的最小元素为2，所以5(1)会和2进行交换位置，此时5(1)到了5(2)后面，破坏了稳定性，所以选择排序是一种不稳定的排序算法。
插入排序 \color{#0AF}{插入排序} 插入排序
比较是从有序序列的末尾开始，也就是想要插入的元素和已经有序的最大者开始比起，如果比它大则直接插入在其后面，否则一直往前找直到找到它该插入的位置。如果碰见一个和插入元素相等的，那么把要插入的元素放在相等元素的后面。所以，相等元素的前后顺序没有改变，从原无序序列出去的顺序就是排好序后的顺序，所以插入排序是稳定。
希尔排序 \color{#0AF}{希尔排序} 希尔排序
希尔排序是按照不同步长对元素进行插入排序 ,虽然一次插入排序是稳定的，不会改变相同元素的相对顺序，但在不同的插入排序过程中，相同的元素可能在各自的插入排序中移动，最后其稳定性就会被打乱，所以希尔排序是不稳定的。
归并排序 \color{#0AF}{归并排序} 归并排序
归并排序在归并的过程中，只有arr[i]
快速排序 \color{#0AF}{快速排序} 快速排序
快速排序需要一个基准值，在基准值的右侧找一个比基准值小的元素，在基准值的左侧找一个比基准值大的元素，然后交换这两个元素，此时会破坏稳定性，所以快速排序是一种不稳定的算法。
