抛物线和圆：2017年理数全国卷C题20

20.（12分）

已知抛物线过点的直线交于两点，圆是以线段为直径的圆.

（1）证明∶坐标原点在圆上;

（2）设圆过点，求直线与圆的方程.

【分析】

圆与直角三角形、等腰三角形有着很密切的联系。

本题中，将待证结论作为条件：坐标原点在圆上，结合另一已知条件：圆是以线段为直径的圆，可以得出结论：

反之，如果能证明两向量的内积为，也可以推导出两直线垂直，从而得出结论：坐标原点在圆上.

【解答第1问】

抛物线以轴为对称轴，假如直线倾角为0，与抛物线只有一个交点，不需要考虑。

所以，直线的方程可表示为：

将此直线方程代入抛物线方程可得：

两点是直线与抛物线的公共点，根据以上方程可以求出这两点坐标的和与积：

又因为圆是以线段为直径的圆，所以，坐标原点在圆上.

【微操说明】

过点且不垂直于轴的直线方程可表示为：

以上两种写法是对等的。

在本题中，直线的方程也可以这样写：. 但这样写存在两个问题：一是计算过程略显复杂；二是该方程不能表示直线倾角等于90° 的情况（斜率不存在），严格来说，需要单独讨论。直线方程用目前的写法，不仅简化了计算，而且使证明过程更严格。

在最近十年的高考题中，类似的例子还有一些。需要引起注意。

【解答第2问】

利用第1问的结论可知：圆心在线段的垂直平分线上。根据两点坐标可得垂直平分线的方程：

另一方面，点都在抛物线上，可以用平方差法推导斜率与中点的关系：

由于点在垂直平分线上，可设其坐标为：

由于这四个点在同一条直线上，所以：

圆心坐标为：；相应的斜率为：，相应的半径为：

所以，满足条件的解有两组：

第1组：，直线方程为：，圆的方程为：

第2组：，直线方程为：，圆的方程为：

【常用命题】

本题实际上涉及以下常用命题：

** 为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，则 . **

读者可以自己完成以上命题的证明。

常用命题不同于定理，在教科书上，定理都以黑体字的形式出现；而常用命题则经常出现以命题或者习题中。

【提炼与提高】

本题难度中等。涉及到了解析几何中一些常见的方法和问题：

垂直平分线方程的这种写法，在教科书的例题中出现过。再次提醒大家：切勿盲目刷题。 高考题并非空中楼阁。在刷题的过程中，联系教材，及时总结，才能达到事半功倍的效果。