多目标优化中的帕累托（Pareto）相关概念

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多目标优化之帕累托最优 - 知乎、多目标优化---帕累托（Pareto）_纯粹的博客-CSDN博客、百度百科

1、多目标优化

在现实生活中有很多的问题都是由互相冲突和影响的多个目标组成，这些目标不可能同时达到最优的状态，我们通常会尽量让这些目标在一定的区域内达到最佳的状态，这就是多目标优化。

2、帕累托占优

决策向量a在任何目标函数上的表现都不比决策向量b差，且a在某个目标函数的表现上比b要好，则称a帕累托占优b，或称a优于b，a强帕累托支配b。

如下图：横纵坐标表示两个目标函数值，E点表示的解所对应的两个目标函数值都小于C、D两个点表示的解所对应的两个目标函数值，则称解E帕累托占优C和D。

 3、解A无差别于解B（解A能帕累托支配解B）

假设两个目标函数，解A对应的一个目标函数值优于解B对应的一个目标函数值，但是解A对应的另一个目标函数值要差于解B对应的一个目标函数值，则称解A无差别于解B，也叫作解A能帕累托支配解B。

如下图。C点在第一个目标函数的值比D小，在第二个函数的值比D大，则称解C无差别于解D。

 

4、绝对最优解

在参数空间中，有一个变量X*，解X*对应的每个目标函数值都优越于其他任何解，则称X*为目标函数的绝对最优解。

举个例子，下图的x1就是两个目标函数的最优解，使两个目标函数同时达到最小。

5、帕累托最优解（非劣解）

当绝对最优解不存在时，需要引入新的解的概念——非劣解（又称非控解，有效解，帕累托最优解，锥最优解）。

先看帕累托最优解的一般解释（来自百度百科）：帕累托最优是指资源分配的一种理想状态，假定固有的一群人和可分配的资源，从一种分配状态到另一种状态的变化中，在没有使任何人境况变坏的前提下，使得至少一个人变得更好，这就是帕累托改进。帕累托最优状态就是不可能再有更多的帕累托改进的余地。

在参数空间S中，有一个变量X-，若在S中不存在变量Y使Y对应的所有目标函数值都优于X-对应的目标函数值，则称X-为目标函数的帕累托最优解(非劣解）。多目标优化问题的非劣解一般不止一个，由所有非劣解构成的集合称为非劣解集。

用帕累托占优的概念来定义帕累托最优：假设N个目标函数，对于解A而言，在变量空间中找不到其他的解能够帕累托占优（强帕累托支配，优于）解A（注意这里的优于一定要N个目标函数值都优于A对应的函数值），那么解A就是帕累托最优解。

举个例子，下图中应该找不到比x1对应的目标函数都小的解了，即找不到一个解优于x1了，同理也找不到比x2更优的解了，所以这两个解都是帕累托最优解。实际上，x1-x2 这个范围的解都是帕累托最优解（原因：在x1和x2之间任意取一点x，都不可能在解空间的其他位置找到另一个y，使得y对应的两个目标函数都优于x）。

 6、帕累托最优前沿

还是看上面那张图，如下图所示，更好的理解一下帕累托最优解，实心点表示的解都是帕累托最优解（因为找不到任何其他点x，使得x对应的两个目标函数值都比某个实心点小），所有的帕累托最优解构成帕累托最优解集，这些解经目标函数映射构成了该问题的Pareto最优前沿或Pareto前沿面，即帕累托最优解对应的目标函数值就是帕累托最优前沿。

对于两个目标的问题，其Pareto最优前沿通常是条线。而对于多个目标，其Pareto最优前沿通常是一个超曲面。