剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题

问题描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

解题思路

这个问题可以使用动态规划来解决，其中状态转移方程表示为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(n) 表示跳上 n 级台阶的跳法总数。

n=1:(1)

n=2:(1,1),(2)

n=3:(1,1,1),(2,1),(1,2)

....................................

多写出几个例子可以发现F(n)=F(n-1)+F(n-2)

这个问题可以使用动态规划来解决，其中状态转移方程表示为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(n) 表示跳上 n 级台阶的跳法总数。

以下是解题的思路、时间和空间复杂度以及对应的 C++ 代码：

思路：

1. 创建一个数组 dp，其中 dp[i] 表示跳上第 i 级台阶的跳法总数。
2. 初始化 dp[0] = 1 和 dp[1] = 1，因为跳上 0 级和 1 级台阶只有一种跳法。
3. 使用循环从 2 开始遍历到 n，根据状态转移方程 F(n) = F(n-1) + F(n-2) 计算 dp[i]。
4. 返回 dp[n]，即跳上 n 级台阶的跳法总数。

**时间复杂度：**遍历一次台阶数 n，因此时间复杂度为 O(n)。

**空间复杂度：**创建一个大小为 n+1 的数组 dp，因此空间复杂度为 O(n+1)。

代码及结果

int Solution::numWays(int n)
{
    const int MOD = 1000000007;

    if (n <= 1) {
        return 1;
    }

    std::vector dp(n + 1);
    dp[0] = 1;
    dp[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        dp[i] = (dp[i - 1] + dp[i - 2]) % MOD;
    }

    return dp[n];
}