An Introduction to Measure Theory and Probability

Luigi Ambrosio, Giuseppe Da Prato, Andrea Mennucci, An Introduction to Measure Theory and Probability.

Chapter 1 Measure spaces

Index:

• ring/algebras P2
• -algebras P3
• Borel -algebras P3
• -additive P4
• P7
• finite, -finite P7
• , completion P8
• systems P9
• Dynkin-systems P10
• Outer measure P11
• P12
• Lebesgue measure P12

P9页的Caratheodory定理是在环的基础上建立的(实际上半环足以), 通过半环生成域(通过). 通过构建可测集域(外测度, 扩张), 由于也是可测集, 所以满足所需的可加性. 当定义在的测度是有限的时候(或者存在一个分割), 这个扩张是唯一的.

Chapter 2 Integration

Index:

• Inverse image P23
• -measureable P23
• canonical representation of P25
  
• repartition function P28
• archimedean integral P30
• -integrable P32
• -uniformly integrable P37

什么是可测函数, 以及什么是-可测函数是很重要的 (P24).
什么是-integrable也是很重要的(在-可测函数定义的).
不同于我看到的一般的积分的定义, 这一节是从 repartition function 和 archimedean integral入手的, 特别是

的定义式非常之有趣.

Chapter 3 Spaces of integrable functions

Index:

• , P44
• equivalence class
• Legendre transform P45
• -essentially bounded P45
• Jensen inequality P45
• P54

首先需要注意的是, 空间是定义在-integrable上的, 所以其针对值域为.

Chapter 4 Hilbert spaces

Index:

• Orthonormal system P63
• Complete orthonormal system P64
• Separable P64
• pre-Hilbert space P57
• Hilbert space (complete) P58

投影定理, 子空间或者凸闭集(条件和结论需要调整).

Chapter 5 Fourier series

Index:

• "Heaviside" function P71
• totally convergent P75

Chapter 6 Operations on measures

Index:

• Measureable rectangle P79
• sections, P79
• dimensional constant p83
• -box P84
• cylindrical set P86
• concentrated set P92
• singular measures P92
• total variation P97
• stieltjes integral P103
• weak convergence P103
• Tightness of measures P104
• Fourier transform P108

这一章很重要!

Part1: Fubini-Tonelli

Part2: Lebesgue分解定理P92

Part3: Signed measures

Part4: , P102, 弱收敛 (除去可数多个点)

Part5: Fourier transform, 以及测度的Fourier transform (后面概率的表示函数有用), Levy定理P112.

Chapter 7 The fundamental theorem of the integral calculus

Index:

• density points, rarefaction points P121
• Heaviside function P121
• Cantor-Vitali function P121
• total variation P116

Chapter 8 Measurable transformations

Index:

• differential P123
• Jacobian determinant P125
• diffeomorphism P125
• critical set P125

有一个问题就是，我看其理论都是限制在非负函数上的, 但是个人感觉直接推广到可测函数上.
需要用到逆函数定理, 很有意思.

Chapter 9 General concepts of Probability

Index:

• elementary event P131
• laws P131
• Random variable P133
• binomial law P138
• Characteristic function P139

注意:

是限制在-integrable之上的.

Chapter 10 Conditional probability and independece

Index:

• Independece of two families P147
• -algebra generated by a random variable P147
• Independence of two random variables P147
• Independence of familes P149
• P149
• P152
• independent and identically distributed P155

由条件概率衍生到独立性, 随机变量的独立性有几个等价条件P147, P150.
需要区分联合分布的概率和的区别 (当独立时才等价).

Chapter 11 Convergence of random variables

测度	概率
一致收敛	一致收敛
几乎一致收敛	几乎一致收敛
几乎处处收敛	几乎处处收敛
依测度收敛	依概率收敛
收敛
弱收敛	依分布收敛

(几乎)一致收敛可以得到几乎处处和依测度收敛.
几乎处处在测度有限的情况下可以推几乎一致收敛, 从而得到依测度收敛.
依测度收敛必存在一个几乎处出收敛的子列.
收敛一定能够有依测度收敛.

特别地, 依概率收敛有依分布收敛, 只有当依分布收敛到常数的时候, 才能推依概率收敛到(对应的有限测度).

Chapter 12 Sequences of independent variables

Index:

• terminal -algerba P172
• empirical distribution function P180

Kolmogorov's dichotomy P173 很有趣.

大数定律再到中心极限定理.

Chapter 13 Stationary sequences and elements of ergodic theory

Index:

• stationary sequences P186
• measure-preserving transformation P188
• T-invariant P189
• Ergodic maps P189
• conjugate maps P190

平稳序列的定义需要注意, 另外一些理论有趣却渐渐脱离了掌控, 有点摸不着头脑.