线性代数的本质(十一)——复数矩阵

复数矩阵

矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}\in \mathbb{C}$ ，称为复矩阵。现将实数矩阵的一些概念推广到复数矩阵，相应的一些性质在复数矩阵同样适用。

定义：设复矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$

1. 矩阵 $\bar{A}=(\overline{a_{ij}})$ 称为矩阵 $A$ 的共轭矩阵.
2. 矩阵 $A^H={\bar{A}}^T$ 称为矩阵 $A$ 的共轭转置，又叫Hermite转置。
3. 若 $A^H=A$，则称 $A$ 为 Hermitian 矩阵，是实数域对称阵的推广。
4. 若 $A^{H}A=A{A}^H=I$，即 $A^{-1}=A^H$ ，则称 $A$ 为酉矩阵(unitary matrix)，是实数域正交阵的推广。
5. 复向量长度 $\Vert \mathbf{z}{\Vert }^2=|z_1{|}^2+|z_1{|}^2+\cdots +|z_n{|}^2$
6. 内积 ${\mathbf{u}}^H\mathbf{v}={\bar{u}}_1{v}_1+{\bar{u}}_2{v}_2+\cdots +{\bar{u}}_n{v}_n$
7. 正交 ${\mathbf{u}}^H\mathbf{v}=0$

性质：

• $\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}$
• $\overline{kA}=\bar{k}\bar{A}$
• $\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}$
• $(AB{)}^H=B^H{A}^H$
• 内积满足共轭交换率 ${\mathbf{u}}^H\mathbf{v}=\overline{{\mathbf{v}}^H\mathbf{u}}$
• Hermitian 矩阵可正交对角化 $A=P\Lambda P^{-1}=P\Lambda P^H$
• Hermitian 矩阵的每个特征值都是实数

附录

极大线性无关组

由向量组线性相关的定义，容易得到以下结论：

(1) 向量组线性相关$⟺$向量组中存在向量能被其余向量线性表示。
(2) 向量组线性无关$⟺$向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。

线性等价：给定两个向量组
$$\begin{gathered} {\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r \\ {\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,\cdots ,{\mathbf{b}}_s \end{gathered}$$
如果其中的每个向量都能被另一个向量组线性表示，则两个向量组线性等价。

例如，向量组 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 与向量组 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 线性等价。

极大线性无关组：从向量组 $A$ 中取$r$ 个向量组成部分向量组 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$ ，若满足

(1) 部分向量组 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$ 线性无关
(2) 从$A$ 中任取$r+1$个向量组成的向量组 都线性相关。

则称向量组 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\cdots ,{\mathbf{a}}_r$ 为极大线性无关组(maximum linearly independent group)。极大线性无关组包含的向量个数为向量组的秩。

性质：

(1) 一个向量组的极大线性无关组不一定是惟一的；
(2) 一个向量组与它的极大线性无关组是等价的；
(3) 一个向量组的任意两个极大线性无关组中包含的向量个数相同，称为向量组的秩(rank)。全由零向量组成的向量组的秩为零；
(4) 两个线性等价的向量组的秩相等；
(5) 两个等价的向量组生成的向量空间相同。

向量叉积

平面叉积
$$\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{cc}{v}_1& w_1\\ v_2& w_2\end{array}\right]$$
大小等于 $v,w$ 围成的平行四边形的面积

三维叉积
[ v 1 v 2 v 3 ] × [ w 1 w 2 w 3 ] = det ⁡ [ i v 1 w 1 j v 2 w 2 k v 3 w 3 ] \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}\mathbf i & v_1 & w_1\\\mathbf j & v_2 & w_2 \\\mathbf k & v_3 & w_3 \end{bmatrix} ​v1​v2​v3​​ ​× ​w1​w2​w3​​ ​=det ​ijk​v1​v2​v3​​w1​w2​w3​​ ​
大小等于 $v,w$ 围成的平行六面体的体积，方向遵循右手定则。