【C++技能树】手撕AVL树 --插入与旋转详解
Halo，这里是Ppeua。平时主要更新C++，数据结构算法，Linux与ROS…感兴趣就关注我bua！
文章目录
- 0.平衡搜索二叉树概念
-
- 0.1 平衡因子
- 1.插入
-
- 1.1 普通插入操作
- 1.2更新平衡因子
- 2.旋转
-
- 2.1 左单旋
- 2.2 右单旋
- 2.3 右左双旋
- 2.4 左右双旋
- 3. 旋转判定
- 4. 验证是否为AVL树
- 5.完整源码(AVL插入旋转)
0.平衡搜索二叉树概念
为什么在会了搜索二叉树之后,还需要学习平衡搜索二叉树呢？在搜索二叉树部分,并没有要求树保持平衡,仅需遵循左小右大即可.
若往树中插入有序或者接近有序的值,会出现下面这种情况,退化为单支树.
这样的搜索树就完全没有效率可言,他的时间复杂度为o(N).所以我们需要一棵正常(平衡)的树来解决这个问题.
否则当map和set用这样的树岂不是效率非常的低,所以这就是平衡二叉搜索树的意义.
将子树的左右平衡高度差维持在(-1/0/1)之间,若超过了这个范围,则对树进行高度调整,从而减少搜索长度.
上面的那棵树可以变化成这个样子,这样搜索的效率就变成了o(logN),大大提高了效率.
这同样是一棵满二叉树.其节点个数为 2 h − 1 2^h-1 2h−1,可以将其看作一颗特殊的平衡二叉搜索树.
所以平衡二叉搜索树的节点个数的公式为: 2 h − X 2^h-X 2h−X,X的范围介于[1, 2 ( h − 1 ) − 1 2^{(h-1)}-1 2(h−1)−1]之间.
这里可以这样理解.二叉树的最大深度差为1,此时的最后一层最差的情况为只有一个节点,那么缺少的节点数为前面所有层的节点.
忽略掉常数,可以看到h可以近似等于logN.
0.1 平衡因子
上文提到,二叉搜索树需要计算其平衡因子来稳定树的平衡度.那么平衡因子怎么算呢?
左子树的最大高度为负,右子树的最大高度为正.两值相加,体现在根上的即为这棵树的平衡因子
因为其对树的结构调整,需要大量访问parent,也就是子树的根,所以在定义这棵树的时候.我们直接将其parent存起来,方便后续查找.
template<typename K,typename V>
struct TreeNode
{
pair<K, V>_val;
TreeNode<K,V>* _left;
TreeNode<K,V>* _right;
TreeNode<K,V>* _parent;
int _bf;
TreeNode(const pair<K,V> val)
:_val(val),
_left(nullptr),
_right(nullptr),
_parent(nullptr),
_bf(0)
{}
};
1.插入
我们先写一个最简单的二叉树插入操作,然后在上面加上平衡因子的更新与旋转即可.
1.1 普通插入操作
bool Insert(const pair<K, V> kv)
{
Node* parent = _root;
Node* cur = _root;
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
}
while (cur)
{
if (kv.first > cur->_val.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (kv.first < cur->_val.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else return false;;
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_val.first > kv.first)
{
parent->_left = cur;
}
else
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
1.2更新平衡因子
当我们插入一个新的节点的时候,**新增在左则平衡因子减减,新增在右则平衡因子加加.**此时有以下这几种情况:
-
当更新完平衡因子,parent的平衡因子为0时,说明并没有引起这棵子树的高度变化.则不需要继续向上更新平衡因子
-
当更新完平衡因子,parent的平衡因子为-1/1时,说明引起了这棵树的高度变化,需要继续更新其祖先的平衡因子
-
当更新完平衡因子,parent的平衡因子为-2/2时,说明这棵树需要进行旋转来维持平衡
关于旋转我们稍后再说,我们在代码里加上更新平衡因子的这几步操作.
while (parent)
{
if (parent->_left == cur)
{
parent->_bf--;
}
else parent->_bf++;
if (parent->_bf == 0)break;
else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
{
cur = parent;
parent=parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
//旋转
}
}
2.旋转
旋转根据实际的情况,可以分为四种情况:左单旋,右单旋,左右单旋,右左单旋
旋转的目的是:在不破坏AVL的前提下,降低这棵树的高度,使其重新成为AVL树
2.1 左单旋
当parent节点的平衡因子为2时,需要进行左单旋来降低整棵树的高度.
这是最简单的情况,即让parent->right=cur->left cur->left=parent
当需要旋转的是一颗子树的时候,核心操作不变,但需要更新下parent 与 pparent的关系,将pparent指向cur
所以左单旋的代码也可以写出来了
void RotateL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curleft = cur->_left;
if (curleft)
curleft->_parent = parent;
parent->_right = curleft;
cur->_left = parent;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = cur;
if (_root == parent)
{
cur->_parent = nullptr;
_root = cur;
}
else
{
if (pparent->_left == parent)
{
pparent->_left = cur;
}
else pparent->_right = cur;
cur->_parent = pparent;
}
parent->_bf =cur->_bf= 0;
}
2.2 右单旋
其旋转核心为:**parent->left=cur->right cur->right=parent **
所以右旋转的代码为:
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curleft = cur->_left;
if (curleft)
{
curleft->_parent = parent;
}
parent->_left = curleft;
if (parent == _root)
{
cur->_left = parent;
}
else
{
Node* pparent = parent->_parent;
if (pparent->_left = parent)
{
pparent->_left = cur;
}
else
pparent->_right = cur;
cur->_parent = pparent;
}
parent->_bf = cur->_bf = 0;
parent->_parent = cur;
}
2.3 右左双旋
其抽象模型为:
这个模型实在有点抽象,我们分以下几种情况来讨论.
当h0时,此时60为插入的节点(60->bf0)
旋转完成后,parent->bf cur->bf均为0
当h==1时,此时可以分为在60的左边插入或者在60的右边插入
- 在左边插入(curleft->bf==-1)
旋转完成后,parent->bf=0 cur->bf=1 curleft->bf=0
- 在右边插入(curleft->bf==1)
旋转完成后,parent->bf=-1 cur->bf=0 curleft->bf=0
当h==2时,此时也可以分为在左边插入以及在右边插入
-
在左边插入(curleft->bf==-1)
旋转完成后,parent->bf=0 cur->bf=1 curleft->bf=0
- 在右边插入(curleft->bf==1)
旋转完成后,parent->bf=-1 cur->bf=0 curleft->bf=0
可以看出,引发右左双旋的原因为:cur->bf==-1,parent->bf==2
所以 其代码可以复用之前的旋转,但之前的旋转改变了平衡因子,我们需要依照上面的规律再特殊处理一下
void RotaRL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->_right;
int bf = curright->_bf;
RotateR(parent);
RotateL(parent->_left);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
curright->_bf = 0;
}
if (bf == -1)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 1;
curright->_bf = 0;
}
if (bf == 1)
{
parent->_bf = -1;
cur->_bf = 0;
curright->_bf = 0;
}
}
2.4 左右双旋
其抽象模型为:
这个模型实在有点抽象,我们分以下几种情况来讨论.
h0 此时60为插入的节点(curright->bf0)
旋转完成后,parent->bf=cur->bf=curright->bf=0
当h==1时,此时可以分为在60的左边插入或者在60的右边插入
- 在左边插入(curright->bf==-1)
旋转完成后,parent->bf=1 cur->bf=0 curleft->bf=0
- 在右边插入(curright->bf==1)
旋转完成后,parent->bf=0 cur->bf=-1 curright->bf=0
当h==2时,此时也可以分为在左边插入以及在右边插入
-
在左边插入(curright->bf==-1)
旋转完成后,parent->bf=1 cur->bf=0 curright->bf=0
- 在右边插入(60->bf==1)
旋转完成后,parent->bf=0 cur->bf=-1 curright->bf=0
可以看出,引发左右双旋的原因为:cur->bf1,parent->bf-2
void RotaLR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curright = cur->right;
int bf = curright->_bf;
RotateL(cur);
RotateR(parent);
if (bf == 0)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = 0;
curright->_bf = 0;
}
if (bf == -1)
{
parent->_bf = 1;
cur->_bf = 0;
curright->_bf = 0;
}
if (bf == 1)
{
parent->_bf = 0;
cur->_bf = -1;
curright->_bf = 0;
}
}
3. 旋转判定
旋转的判定为:同号单旋,异号双旋(将cur旋转为parent同号)
if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2)
{
if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotaRL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotaLR(parent);
}
break;
}
4. 验证是否为AVL树
bool IsAVLTree()
{
return IsAVLTree(_root);
}
bool IsAVLTree(Node* root)
{
if (root == nullptr)return true;
int leftheight = Height(root->_left);
int rightheight= Height(root->_right);
if (rightheight - leftheight != root->_bf)
{
cout << "异常" << rightheight<< " " << leftheight<< " "<<root->_bf<<endl;
return false;
}
return abs(rightheight - leftheight) < 2 && IsAVLTree(root->_left) && IsAVLTree(root->_right);
}
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)return 0;
int leftheight = Height(root->_left);
int rightheight = Height(root->_right);
return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1;
}
5.完整源码(AVL插入旋转)
#pragma once
#include
{
if (root == nullptr)return true;
int leftheight = Height(root->_left);
int rightheight= Height(root->_right);
if (rightheight - leftheight != root->_bf)
{
cout << “异常” << rightheight<< " " << leftheight<< " "<_bf<
}
return abs(rightheight - leftheight) < 2 && IsAVLTree(root->_left) && IsAVLTree(root->_right);
}
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)return 0;
int leftheight = Height(root->_left);
int rightheight = Height(root->_right);
return leftheight > rightheight ? leftheight + 1 : rightheight + 1;
}
private:
Node* _root = nullptr;
};
[外链图片转存中...(img-4uSXVW1J-1694524567600)]