5. 自动求导

5.1 向量链式法则

 ① 例子1是一个线性回归的例子，如下图所示。

 

5.2 自动求导 

 

5.3 计算图

 

 

5.4 两种模型

 

 

 ① b是之前计算的结果，是一个已知的值。

 

 

 

5.5 复杂度

 

 5.6 自动求导

import torch
x = torch.arange(4.0)
x

结果：

 ② 在外面计算y关于x的梯度之前，需要一个地方来存储梯度。

import torch
x = torch.arange(4.0)
x.requires_grad_(True) # 等价于 x = torch.arange(4.0,requires_grad=True)
print(x.grad) # 默认为None

结果：（两种写法）

 ③ 现在计算y。

import torch
x = torch.arange(4.0,requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x,x)
print(y) # grad_fn是隐式的构造了梯度函数

结果：

④ 通过调用反向传播函数来自动计算y关于x每个分量的梯度。

import torch
x = torch.arange(4.0,requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x,x)
y.backward() # 反向传播后会有梯度计算出来
print(x.grad) # 访问导数，即访问梯度
print(x.grad == 4 * x) # 4 * x 是 2 * x * x 的导数

结果：

 ⑤ 计算x的另一个函数。

import torch
x = torch.arange(4.0,requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x,x)
y.backward()
# 默认情况下，PyTorch会累积梯度，需要清除之前的值
x.grad.zero_() # y.backward() 后才能产生梯度，才能梯度清零，没有反向传播，无法梯度清零
y = x.sum() # 这里的y是一个标量，sum函数其实就是x_1+x_2+...x_n，求偏导自然是全1啊
y.backward()
print(x.grad)

结果：

⑥ 在深度学习中，目的不是计算微分矩阵，而是批量中每个样本单独计算的偏导数之和。

import torch
x = torch.arange(4.0,requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x,x)
y.backward()
# 默认情况下，PyTorch会累积梯度，需要清除之前的值
# 对非标量调用 'backward' 需要传入一个 'gradient' 参数，该参数指定微分函数
x.grad.zero_()
y = x * x  # 这里的y不是一个标量，这是一个向量
print(y)
# 等价于y.backward(torch.ones(len(x)))
y.sum().backward() # y.sum()后就讲向量转为标量了，对标量求导
x.grad

 结果：

⑦ 将某些计算移动到记录的计算图之外。

import torch
x = torch.arange(4.0,requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x,x)
y.backward()
x.grad.zero_()
y = x * x
print(y)
u = y.detach() # y.detach把y当作一个常数，而不是关于x的一个函数
print(y.detach())
print(u)
z = u * x
z.sum().backward()
x.grad == u

 结果：

import torch
x = torch.arange(4.0,requires_grad=True)
y = 2 * torch.dot(x,x)
y.backward()
x.grad.zero_()
y = x * x  # 这里的y是关于x的函数
x.grad.zero_()
y.sum().backward()
x.grad == 2 * x

 结果：

⑧ 即使构建函数的计算图需要通过Python控制流（例如，条件、循环或任意函数调用），仍然可以计算得到的变量的梯度。

def f(a):
    b = a * 2
    while b.norm() < 1000: # norm是L2范数
        b = b * 2
    if b.sum() > 0:
        c = b
    else:
        c = 100 * b
    return c

a = torch.randn(size=(),requires_grad=True)
print(a)
d = f(a)
d.backward()
print(a.grad)
print(d/a)
a.grad == d/a # d是a的线性函数，所以导数就是斜率d/a

结果：