【洛谷 P1170】兔八哥与猎人 题解（数学+辗转相除法）

兔八哥与猎人

题目描述

兔八哥躲藏在树林旁边的果园里。果园有 $M\times N$ 棵树，组成一个 $M$ 行 $N$ 列的矩阵，水平或垂直相邻的两棵树的距离为 $1$。兔八哥在一棵果树下。

猎人背着猎枪走进了果园，他爬上一棵果树，准备杀死兔八哥。

如果猎人与兔八哥之间没有其它的果树，猎人就可以看到兔八哥。

现己知猎人和兔八哥的位置，编写程序判断兔子所在的位置是否安全.

输入格式

第一行为 $n$，表示有 $n$ 组数据，每组数据的第一行为两个正整数 $a_x$ 和 $a_y$，表示猎人的位置，第二行为两个正整数 $b_x$ 和 $b_y$，表示兔八哥的位置。

输出格式

共有 $n$ 行，每行为 yes 或 no 表示兔八哥的位置是否安全。

样例 #1

样例输入 #1

1
1 1
1 2

样例输出 #1

no

提示

$1\le n\le 10^5$，$1\le a_x,a_y,b_x,b_y\le 10^8$。

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思路

我们可以将两个整数 $x$ 和 $y$ 看作是一个二维平面上的点 $(x,y)$。如果两点之间存在一个整数点，那么必然是一个整数倍的关系，即存在两个整数 $k$ 和 $l$，使得 $x=kz$，$y=lz$，其中 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的最大公约数。因此，$x/z$ 和 $y/z$ 必然不互质。反之，如果 $x/z$ 和 $y/z$ 不互质，则存在两个整数 $k$ 和 $l$，使得 $x=kz$，$y=lz$，因此它们之间必然存在一个整数点。

因此，我们只需要计算出 $|x-a|$ 和 $|y-b|$ 的最大公约数，判断是否为 $1$ 即可。

注意：输入没有给出 $M$ 行 $N$ 列，地图视为无限大。

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AC代码

#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

// 辗转相除法
int gcd(int x, int y)
{
    if (x < y)
    {
        x ^= y ^= x ^= y;
    }
    if (!y)
    {
        return x;
    }
    return gcd(y, x % y);
}

int abs(int x)
{
    return (x < 0) ? (-x) : x;
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while (n--)
    {
        // 猎人位置
        int a, b;
        // 兔子位置
        int x, y;
        cin >> a >> b >> x >> y;
        if (gcd(abs(x - a), abs(y - b)) != 1)
        {
            // 不互质，有整数点
            cout << "yes" << endl;
        }
        else
        {
            cout << "no" << endl;
        }
    }
    return 0;
}