优美的数学，形象的理解：点乘和叉乘运算如何理解

欢迎进入向量数学的核心之旅！在处理向量时，最引人入胜的两个操作是点积和叉积。虽然它们起初可能看起来很神秘，但直观地理解它们可以开启从物理学到计算机图形学等领域的丰富理解。

点积：投影阴影

点积通常被视为一个向量在另一个向量上的“投影”或“阴影”。

数学上：如果我们有两个向量 A 和 B，它们的点积由下式给出：
A . B = |A| * |B| * cos(theta)
其中 theta 是两个向量之间的角度。

直观地：想象一束明亮的光垂直于向量 B 照射。A 在 B 上投下的阴影代表了点积。如果 A 与 B 直接对齐，其阴影最长。如果它们垂直，阴影就消失了。

叉积：构建平行四边形和理解旋转

两个向量之间的叉积提供了一个具有特殊方向和大小的向量。我们来分解一下。

大小：

• 叉积 A x B 的大小由公式 |A| * |B| * sin(theta) 给出。
• 这个大小可以被视为两个向量形成的平行四边形的面积。
• 如果向量几乎平行，面积几乎为零，所以它们的叉积也是如此。另一方面，如果向量垂直，平行四边形的面积（以及叉积的大小）被最大化。

方向：

• A x B 的方向总是垂直于 A 和 B。
• 使用右手规则确定方向。如果你用手指指向 A 的方向，然后弯曲它们朝向 B，你的大拇指指向的方向就是 A x B。

为了看到这在实际中的应用，想象一下门。当你推或拉其把手（力 F）时，你在其铰链处施加了一个扭矩。这个扭矩的方向（或门的旋转轴）是通过位置向量（从铰链到把手，r）和力向量 F 的叉积找到的。这个扭矩向量始终沿着铰链轴，这与我们对门旋转的直观理解是一致的。

总结

点积和叉积都为向量的行为及其相互关系提供了深入的见解。而点积为我们提供了一个标量值，告诉我们两个向量之间的“重叠”，叉积给了我们一个新的向量，揭示了两个向量在空间上如何相互关联。

通过内化这些概念，人们可以更深入地理解物理学、工程学和计算机图形学等多个领域中的许多现象。所以下次当你推开门或享受阳光投射的阴影时，记住这些日常体验背后的优雅数学！

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