数据结构——图的遍历

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前言

1. 图的遍历
2. 深度优先搜索
3. 广度优先搜索
4. 邻接矩阵存储结构
5. 图的遍历与图的连通性

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一、图的遍历

1. 定义：图的遍历就是按照某种次序访问图中每个顶点一次且一次

基本方法：
深度优先搜索遍历(dfs)
广度优先搜索遍历(bfs)

2. 基本算法：连通图的深度优先搜索遍历类似于树的先根遍历，其思想如下：
   假定图中某个定点v1出发，首先访问出发点然后选择一个v1的未访问的邻接点V2，以V2为新的出发点继续进行深度优先搜索，直至图中的所有节点都访问完成。

广度优先搜索(BFS)&&深度优先搜索(DFS)

广度优先搜索(BFS)

1. 定义：首先由顶点v出发，访问v中各个未被访问的邻接结点，然后再依次访问邻接结点的未被访问过的邻接结点；是一种分层查找方式，每向前走一步，访问一批结点，不是递归；为了实现逐层访问，必须借助一个辅助队列（例题见下图）；图的广度优先搜索与二叉树的层序遍历完全一致

2. 【图的广度优先搜索（BFS） ——由近及远逐层访问顶点，类似于树的按层次遍历。】
   

3. 算法性能分析：需要一个辅助队列，最坏情况下，空间复杂度为O(|V|)；邻接表时间复杂度为O(|V|+|E|)，邻接矩阵时间复杂度为O(|V|²)

4. 广度优先生成树：广度遍历中，得到一颗遍历树，称为广度优先生成树；一给定图的邻接矩阵存储是唯一的，故其广度优先生成树也是唯一，但邻接表存储不唯一，故广度优先生成树不唯一
   

广度优先遍历图算法

void  travel_bfs(graph G)
 { for(i=1;i<=n;i++)               visited[i]=FALSE;
      for(i=1;i<=n;i++)
         if(!visited[i]) 
           bfs(i);
         }
void bfs(graph G, int v0)
{ int w; queue Q;
 init_queue(Q);
visite(v0); visited[v0]=TRUE;
En_queue(Q,v0);
 while(!Q.Empty())
    { v=del_queue(Q);
       w=firstadj(G,v);
       while(w!=0) 
       {  if(!visite[w])
          { visite(w);
             visited[w]=TRUE;
             En_queue(Q.w) ;}
        w=nextadj(G,v,w);
 		}
}
}

深度优先搜索（DFS）

1. 定义：类似于树的先序遍历，尽量进行深层遍历；从一个顶点出发，挨个访问其邻边未被访问过的顶点，一直访问到不能继续进行的时候退回到原来的顶点，退回路中挨个查找其邻边未被访问过的顶点，并访问之，一直退回到原点
2. 算法性能分析：需要一个递归工作栈，空间复杂度为O(|V|)，邻接矩阵存储，时间复杂度为O(|V|²)，邻接表存储，时间复杂度为O(|V|+|E|)
3. 深度优先生成树和森林：对连通图调用DFS生成树，否则生成森林
   

如果将访问过程中搜索顶点的实箭头所对应的边（或弧）连起来，则可构成一棵树。

邻接矩阵存储结构

1. 一个有n个顶点的图，在深度优先搜索图的过程中，找邻接点所需时间为O(n2)。
2. 对辅助数组初始化时间为O(n)。
3. 因此，当用邻接矩阵作为图的存储结构时，深度优先搜索图的时间复杂性为O(n2)。
4. 根据图中所示，写出深度优先和广度优先的遍历次序
   

深度优先遍历：1 4 5 3 2
广度优先遍历：1 4 3 2 5

图的遍历与图的连通性

1. 图的遍历算法可以判断图的连通性；对于无向图，若是连通，则从一点出发，仅需一次遍历就能访问图中所有结点，若是非连通，则一次只能访问连通分量；对于有向图，若从一个结点到每个结点都有路径，则能够访问到图中所有结点，否则不能
2. 最小生成树需要满足的条件
   a. 必须包含图中所有的顶点
   b. 极小连通子图 (n-1)条边
   c. 不能有环路

总结

1. 图的遍历
2. 深度优先搜索
3. 广度优先搜索
4. 邻接矩阵存储结构
5. 图的遍历与图的连通性