面试算法3：前n个数字二进制形式中1的个数

题目

输入一个非负数n，请计算0到n之间每个数字的二进制形式中1的个数，并输出一个数组。例如，输入的n为4，由于0、1、2、3、4的二进制形式中1的个数分别为0、1、1、2、1，因此输出数组[0，1，1，2，1]。

分析1

很多人在面试的时候都能想到直观的解法，使用一个for循环来计算从0到n的每个整数i的二进制形式中1的个数。于是问题转换成如何求一个整数i的二进制形式中1的个数。
计算整数i的二进制形式中1的个数有多种不同的方法，其中一种比较高效的方法是每次用“i&（i-1）”将整数i的最右边的1变成0。整数i减去1，那么它最右边的1变成0。如果它的右边还有0，则右边所有的0都变成1，而其左边所有位都保持不变。下面对i和i-1进行位与运算，相当于将其最右边的1变成0。以二进制的1100为例，它减去1的结果是1011。1100和1011的位与运算的结果正好是1000。二进制的1100最右边的1变为0，结果刚好就是1000。

解1

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        int[] result = countBits(4);
        for (int res : result) {
            System.out.println(res);
        }
    }

    public static int[] countBits(int num) {
        int[] result = new int[num + 1];
        for (int i = 0; i <= num; i++) {
            int j = i;
            while (j != 0) {
                result[i]++;
                j = j & (j - 1);
            }
        }
        return result;
    }
}

分析2

根据前面的分析可知，“i&（i-1）”将i的二进制形式中最右边的1变成0，也就是说，整数i的二进制形式中1的个数比“i&（i-1）”的二进制形式中1的个数多1。

解2

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        int[] result = countBits(4);
        for (int res : result) {
            System.out.println(res);
        }
    }

    public static int[] countBits(int num) {
        int[] result = new int[num + 1];
        for (int i = 1; i <= num; i++) {
            result[i] = result[i & (i - 1)] + 1;
        }

        return result;
    }
}

分析3

还可以使用另一种思路来解决这个问题。如果正整数i是一个偶数，那么i相当于将“i/2”左移一位的结果，因此偶数i和“i/2”的二进制形式中1的个数是相同的。如果i是奇数，那么i相当于将“i/2”左移一位之后再将最右边一位设为1的结果，因此奇数i的二进制形式中1的个数比“i/2”的1的个数多1。例如，整数3的二进制形式是11，有2个1。偶数6的二进制形式是110，有2个1。奇数7的二进制形式是111，有3个1。我们可以根据3的二进制形式中1的个数直接求出6和7的二进制形式中1的个数。

解3

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        int[] result = countBits(4);
        for (int res : result) {
            System.out.println(res);
        }
    }

    public static int[] countBits(int num) {
        int[] result = new int[num + 1];
        for (int i = 1; i <= num; i++) {
        	// 用“i>>1”计算“i/2”，用“i&1”计算“i%2”
            result[i] = result[i >> 1] + (i & 1);
        }

        return result;
    }
}