动态规划——完全背包

        完全背包，指的是有N件物品和一个最多能背重量为W的背包，每件物品有无限个，可以重复放入，求如何装入物品使价值最大。和01背包唯一不同的点就是完全背包的物品具有无限个。

        有了上一篇的学习，如果想要使物品能够被多次放入，我们只需要从小到大的去枚举背包容量即可，至于已经在上一篇阐述了，不会的可以去看看。然后还有一个注意的就是，我们是先枚举物品还是先枚举背包容量呢？在纯完全背包问题中两者都可以的，因为这里的状态转移方程只要保证前面的状态被确定了，后面的就可以逐一确定下来。但是如果问的是求装满背包有几种方案时就有所不同了。来看leetcode的这道题：

518. 零钱兑换 II - 力扣（LeetCode）

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。 

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例 1：

输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2：

输入：amount = 3, coins = [2]
输出：0
解释：只用面额 2 的硬币不能凑成总金额 3 。

示例 3：

输入：amount = 10, coins = [10] 
输出：1

注意，你可以假设：

• 0 <= amount (总金额) <= 5000
• 1 <= coin (硬币面额) <= 5000
• 硬币种类不超过 500 种
• 结果符合 32 位符号整数

可以发现题目要求的是给出硬币组合数，是不考虑元素之间的顺序的，而排列则需要考虑顺序。

还是五步法来分析一下：

1.确定dp数组以及下标的含义

dp[j]：凑成总金额j的货币组合数为dp[j]

2.确定递推公式

这里是求方案数，将选和不选都要加上，即 dp[j] = dp[j] + dp[j - coins[i]];

3.dp数组如何初始化

 dp[0] = 1，即凑成总金额0的货币组合数为1

4.确定遍历顺序

刚刚说过，对于求方案数类的完全背包问题，不同的遍历顺序得到的结果也不同。

 假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

先看先遍历物品的遍历顺序，由于我们是按照物品的顺序来遍历的，只会先计算1，再计算5，因此得到的方法数量只有{1, 5}这种情况，即组合数。

而如果是先遍历容量的遍历顺序，在计算dp[6]时，枚举第0个硬币时会得到{5, 1},因为dp[6] += dp[6 - 1] ,而枚举第1个硬币又会得到{1, 5}，所以可以发现先遍历容量得到的结果就是排列数。

5.举例推导dp数组

最后给出代码：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector& coins) {
        vector dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i < coins.size(); i ++ )
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j ++ )
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
        return dp[amount];
    }
};

再来看一道求排列的题目：

377. 组合总和 Ⅳ - 力扣（LeetCode）

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

提示：

• 1 <= nums.length <= 200
• 1 <= nums[i] <= 1000
• nums 中的所有元素 互不相同
• 1 <= target <= 1000

题目中虽然说的是组合，但是又说了顺序不同的序列被视作不同的组合，其实就是排列。

动规五步曲：

1.确定dp数组以及下标的含义

        dp[i] : 组成和为 i 的排列个数

2.确定递推公式

        dp[i] += dp[i - nums[j]];

3.初始化

        dp[0] = 1，虽然在本题中dp[0]没有意义，但是为了后面递推，赋值为1才能累加起来

4.确定遍历顺序

        上一题已经讲过了，记住：

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

5.举例来推导dp数组

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector& nums, int target) {
        vector dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i <= target; i ++ )
            for(int j = 0; j < nums.size(); j ++ )
                if(i >= nums[j] && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]])
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
        return dp[target];
    }
};

1023. 买书 - AcWing题库

1021. 货币系统 - AcWing题库