c++混合背包问题（多重背包二进制优化）

混合背包问题是指在一个背包中可以装入多种不同的物品，每种物品有自己的重量和价值，同时每种物品又有固定的数量限制。相比于01背包问题和完全背包问题，混合背包问题更加复杂。

为了解决混合背包问题，我们可以采用两种策略：01背包和完全背包。具体来说，对于每种物品，我们可以按照以下方式进行转换：

1. 如果该物品数量为1，则将该物品视为01背包问题，添加一次该物品的重量和价值即可。

2. 如果该物品数量无限，则将该物品视为完全背包问题，按照完全背包的方式添加重量和价值。

3. 如果该物品数量有限，则将该物品视为多次背包问题，采用一般化方法进行计算。

最终，将所有物品按照上述方式进行转换并加入背包中，即可得到混合背包问题的最优解。

下面是C++代码实现：

#include 
using namespace std;

const int maxn = 1005;

int n, m, V[maxn], W[maxn], S[maxn], dp[maxn];

int main() 
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
      {
        cin >> V[i] >> W[i] >> S[i];
        if (S[i] == 1) {  // 01背包
            for (int j = m; j >= V[i]; j--) 
            {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - V[i]] + W[i]);
            }
        }
        else if (S[i] == -1) {  // 完全背包
            for (int j = V[i]; j <= m; j++) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - V[i]] + W[i]);
            }
        }
        else {  // 多重背包
            for (int k = 1; k <= S[i]; k*=2) {
                for (int j = m; j >= k * V[i]; j--) {
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * V[i]] + k * W[i]);
                }
                S[i] -= k;
            }
            if (S[i]) {
                for (int j = m; j >= S[i] * V[i]; j--) {
                    dp[j] = max(dp[j], dp[j - S[i] * V[i]] + S[i] * W[i]);
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}

其中，数组V和W分别表示物品的体积和价值，数组S表示物品的数量限制。在代码中，我们按照上述策略对每种物品进行转换，并利用背包问题的经典动态规划算法求解最优解。最后输出dp[m]即可得到问题的解。有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

问题：

物品一共有三类：

第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
每种体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

si=−1 表示第 i 种物品只能用1次；
si=0 表示第 i 种物品可以用无限次；
si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 −1≤si≤1000

输入样例：

4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2

输出样例：

8

代码

#include

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int f[N];

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    
    for(int i=0;i>v>>w>>s;
        if(!s)
        {
            for(int j=v;j<=m;j++)
            {
                f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
            }
        }
        
        else 
        {
            if(s==-1) s=1;
            for(int k=1;k<=s;k*=2)
            {
                for(int j=m;j>=v*k;j--)
                {
                    f[j]=max(f[j],f[j-k*v]+k*w);
                }
                s-=k;
            }
            if(s) 
            {
                for(int j=m;j>=s*v;j--)
                {
                    f[j]=max(f[j],f[j-s*v]+w*s);
                }
            }
        }
    }
    
    cout<

1、分两种情况，分为是完全背包还是还是其他的背包问题

2、先处理完全背包，体积从大到小枚举

3、如果是多重背包，就用二进制优化处理为多个01背包问题

4、最后s不能省略，因为此时s是剩下的未处理的方案数，重新开了一个区间

5、这里是将01背包和多重背包混合在一起使用了，省略了单独的01背包代码