非交换代数几何的哲学讨论

非交换代数几何的一些Comments 1：哲学。为何要叫做“非交换”代数几何？其实正确的叫法应该是Grothendieck algebraic geometry.因为noncommutative很容易让人想到是某种“不太精确”的推广，也就是说把交换代数几何的方法推广到非交换环上。而事实上，“非交换”是一种很广泛的概念，非交换环上的理论只是affine的情形，大多数都是非affine的情形，而非affine的情形就不可避免地需要category了，所以非交换代数几何又被称为categorical geometry.

非交换代数几何的哲学？

这里谈我自己的一些非常粗浅的认识，我个人觉得实际上对于非交换世界，有几种不同的哲学观点，这直接影响到了他们的工作。老板的观点是认为这个世界本质上是非交换的，而交换的是非交换的一种特殊情况，交换的东西是singularities. 这从他的很多lecture和paper中可以感受到这种观点。比如他的reconstruction theorem的一种解释就是交换代数几何可以full embedding到非交换代数几何里去。 另外就是在用这个machinery做表示论时，他说：“You should be very happy to live in Noncommutative world, representation theory lives in noncommutative world" 事实上，交换环是没有表示论的。老板提到他之所以和Gelfand关系很好可能有一部分是由于他们在哲学观点上比较一致.Gelfand对非交换几何的观点是，他认为非交换跟交换是完全不同的世界，然而，非交换应该像交换的东西一样简单。

另一方面，Artin school的人也是做非交换代数几何的，当然他们主要考虑的是非交换射影几何。他们的观点是 认为交换世界是主要的，是万有的，而非交换世界是交换世界的一种completion. 非交换世界由交换世界来控制。比如具体地，从他们构造的非交换的homogeneous coordinate ring，然后他们构造了noncommutative projective scheme associated to this homogeneous coordinate ring. 而这是个proj-category,非常有趣的是，他们试图找到一个真实存在的交换的空间，比如射影直线，P^1.使得这个空间上的category of quasi coherent sheaves和某个noncommutative homogeneous ring的proj-category等价。那么从这里出发，我们就可以用交换世界的对象来研究这个非交换的环了。还有其他一些人也是持有类似的观点，比如Tanisaki,尽管他在做Beilinson-Bernstein localization for quantum enveloping algebra的工作时，使用的是老板和Lunts的完全非交换的framework,但是当他在考虑quantum group at root of unity case时，他提到在这个情形，由于Lusztig的一个结果，量子世界可以由经典的交换世界控制，因此可以使用交换代数几何的方法来做。