高中奥数 2021-07-14

2021-07-14-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄容斥原理 P98 例6）

对于任何的集合,设为集合的子集个数.如果、、是三个集合,满足下列条件:

(1),

(2),

求的最小值.

解

如果一个集合有个元素,那么它有个子集.

由题设有,

即.

因为是大于且等于一个的整数幂,所以.

从而.

由容斥原理得.

从而有.

由、、;

得、、,

所以.

另一方面,取,,,满足题设条件.

这时.

所以,的最小值为.

2021-07-14-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄容斥原理 P99 例7）

若,且均为非空集合,则集合的组数为

证明

对于,如果对任意正整数(其中),在中至少有个集合为空集,先确定出个空集,确定的方式有种.

对每一种方式确定出的个空集,都有剩下的个集合.不妨设它们为,它们的并集仍是.

可知集合的组数为.

即有:在中至少有个空集时,的组数是.

记.

若均为非空集合,且,

则由容斥原理知集合的组数是

也就是.

2021-07-14-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄容斥原理 P100 例8）

将与互质的所有正整数从小到大排成数列,求这个数列的第项.

分析

先看在区间中有多少个整数与互质.因为,所以只要在数列中去掉所有或或的倍数即可.然后再逐段考察区间中与互质的整数.

解

设,,,,则

在到中,与互质的数有

$\begin{aligned} |\complement_S A_{3}\cap \complement_S A_{5}\cap \complement_S A_{7}|=&|S|-|A_{3}\cup A_{5}\cup A_{7}|\\=&|S|-\left(|A_{3}|+|A_{5}|+|A_{7}|\right)\\&+\left(|A_{3}\cap A_{5}|+|A_{5}\cap A_{7}|+|A_{7}\cap A_{3}\right)-|A_{3}\cap A_{5}\cap A_7|\\=&105-\left(35+21+15\right)+\left(7+3+5\right)-1\\=&48. \end{aligned}$

设与互质的正整数按从小到大的顺序排列为 ,则

因为,

所以.

由于,,,,,,,,,

所以.

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（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄容斥原理 P101 例9）

设为正整数的全部质因数.求证:

证明

记,并设.

则.

注意到,

而为的不同的质因数,上面各式中都可去掉,由筛法公式得

$\begin{aligned} \left(n\right)&=|S|-\sum\limits_{i=1}^m\left[\dfrac{n}{p_i}\right]+\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant m}\left[\dfrac{n}{p_ip_j}\right]-\cdots+(-1)^m\left[\dfrac{n}{p_1p_2\cdots p_m}\right]\\ &=n\left[1-\sum\limits_{i=1}^m\dfrac{1}{p_i}+\sum\limits_{1\leqslant i<j\leqslant m}\dfrac{1}{p_ip_j}-\cdots+(-1)^m\dfrac{1}{p_1p_2\cdots p_m}\right]\\&=n\prod\limits_{i=1}^m\left(1-\dfrac{1}{p_{i}}\right) \end{aligned}$
2021-07-14-05

（本题来源：数学奥林匹克小丛书第二版集合刘诗雄容斥原理 P102 例10）

对于整数,求出最小的整数,使得对于任何正整数,集合的任一个元子集中,均有至少个两两互素的元素.

解

当时,记.

易知,若,则两两互素;

若,则两两互素.

于是,的所有元子集中,均有至少个两两互素的元素,因此存在,且.

设,则为的子集,但中任个元素均不能两两互素,因此.

由容斥原理知,

从而必有(*).

因此,,.

以下证明.

设为中的个数.若这个数中有个奇数,则它们两两互素;若这个数中有个奇数,则必有个偶数,不妨设、、为偶数,、为奇数,当时,,所以、、中至多一个被整除,至多一个被整除,从而至少有个既不被整除也不被整除,不妨设,,则、、两两互素.这就是说这个数中有个两两互素,即.

又由,

知.

因为,所以,

因此,当时,.(**)

以下对用归纳法,证明(**)对所有都成立:

假设时(**)式成立.

当时,显然.(***)

而由归纳假设知,时(**)式成立.所以

(***)

由()、()式知,对于,()式成立所以对于任意,

高中奥数 2021-07-14

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