2021-07-14-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P98 例6）
对于任何的集合,设为集合的子集个数.如果、、是三个集合,满足下列条件:
(1),
(2),
求的最小值.
解
如果一个集合有个元素,那么它有个子集.
由题设有,
即.
因为是大于且等于一个的整数幂,所以.
从而.
由容斥原理得.
从而有.
由、、;
得、、,
所以.
另一方面,取,,,满足题设条件.
这时.
所以,的最小值为.
2021-07-14-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P99 例7）
若,且均为非空集合,则集合的组数为
.
证明
对于,如果对任意正整数(其中),在中至少有个集合为空集,先确定出个空集,确定的方式有种.
对每一种方式确定出的个空集,都有剩下的个集合.不妨设它们为,它们的并集仍是.
可知集合的组数为.
即有:在中至少有个空集时,的组数是.
记.
若均为非空集合,且,
则由容斥原理知集合的组数是
.
也就是.
2021-07-14-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P100 例8）
将与互质的所有正整数从小到大排成数列,求这个数列的第项.
分析
先看在区间中有多少个整数与互质.因为,所以只要在数列中去掉所有或或的倍数即可.然后再逐段考察区间中与互质的整数.
解
设,,,,则
,
,
,
,
,
,
,
.
在到中,与互质的数有
设与互质的正整数按从小到大的顺序排列为 ,则
,
因为,
所以.
由于,,,,,,,,,
所以.
2021-07-14-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P101 例9）
设为正整数的全部质因数.求证:
证明
记,并设.
则.
注意到,
,
,
,
而为的不同的质因数,上面各式中都可去掉,由筛法公式得
2021-07-14-05
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 容斥原理 P102 例10）
对于整数,求出最小的整数,使得对于任何正整数,集合的任一个元子集中,均有至少个两两互素的元素.
解
当时,记.
易知,若,则两两互素;
若,则两两互素.
于是,的所有元子集中,均有至少个两两互素的元素,因此存在,且.
设,则为的子集,但中任个元素均不能两两互素,因此.
由容斥原理知,
从而必有(*).
因此,,.
以下证明.
设为中的个数.若这个数中有个奇数,则它们两两互素;若这个数中有个奇数,则必有个偶数,不妨设、、为偶数,、为奇数,当时,,所以、、中至多一个被整除,至多一个被整除,从而至少有个既不被整除也不被整除,不妨设,,则、、两两互素.这就是说这个数中有个两两互素,即.
又由,
知.
因为,所以,
.
因此,当时,.(**)
以下对用归纳法,证明(**)对所有都成立:
假设时(**)式成立.
当时,显然.(***)
而由归纳假设知,时(**)式成立.所以
(***)
由()、()式知,对于,()式成立所以对于任意,
.