动态规划 Ⅱ

62. 不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

思路：dp[i][j] = dp[i-1]dp[j] + dp[ i] + dp[j-1],  dp[i][j] = 0 when i=0 or j = 0. dp数组可优化为滚动数组

python，滚动数组

class Solution:
    def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:
        dp = [1 for _ in range(n)]
        
        for i in range(1, m):
            for j in range(1,len(dp)):
                dp[j] += dp[j-1]
        
        return dp[-1]

63. 不同路径 II

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

思路，转移方程与不同路径Ⅰ类似，但是要注意障碍物的存在，dp数组时，对应的位置置为0，且dp数组不会在这个位置上更新。初始第一行或第一列时，遇到障碍物后面的位置默认置零。

python：二维数组

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
        m = len(obstacleGrid)
        n = len(obstacleGrid[0])
        if obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1 or obstacleGrid[0][0] == 1:
            return 0
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        for i in range(m):
            if obstacleGrid[i][0] == 0:  # 遇到障碍物时，直接退出循环，后面默认都是0
                dp[i][0] = 1
            else:
                break
        for j in range(n):
            if obstacleGrid[0][j] == 0:
                dp[0][j] = 1
            else:
                break
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                if obstacleGrid[i][j] == 1:
                    continue
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
        return dp[m - 1][n - 1]

Python：滚动数组

class Solution:
    def uniquePathsWithObstacles(self, obstacleGrid):
        if obstacleGrid[0][0] == 1:
            return 0
        
        m, n = len(obstacleGrid), len(obstacleGrid[0])
        
        dp = [0] * n  
        
        # 初始化第一行的路径数
        for j in range(n):
            if obstacleGrid[0][j] == 1:
                break
            dp[j] = 1

        # 计算其他行的路径数，根据障碍物的dp数组修改优先级最高
        for i in range(1, m):
            if obstacleGrid[i][0] == 1:
                dp[0] = 0
            for j in range(1, n):
                if obstacleGrid[i][j] == 1:
                    dp[j] = 0
                    continue
                
                dp[j] += dp[j - 1]
        
        return dp[-1]  # 返回最后一个元素，即终点的路径数