无穷级数（数学一）

一、级数判敛

1、抽象型级数判敛（选择题）

（1）常用结论：

        1、绝对收敛 +\- 绝对收敛 = 绝对收敛

        2、绝对收敛 +\- 条件收敛 = 条件收敛

        3、条件收敛 +\- 条件收敛 = 收敛

        4、若收敛，则收敛，但不确定

        5、发散+发散 = 不确定

（2）比较审敛法

基本不等式：  、

重要尺度：

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绝对收敛可以推收敛，但发散无法得知发散。

对于C、因为，所以，必定存在下界M，，由比较审敛法可以得级数收敛。

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2、具体级数判敛

（1）交错级数：只可能绝对收敛或者发散，用不了莱布尼兹就必定绝对收敛

*莱布尼兹判敛法（充分不必要条件）

        在证明时，可以构造函数、利用初等不等式

*绝对收敛：绝对收敛➡️原级数收敛

（2）正项级数：比较审敛法+放缩\常用尺度（大收小收，小散大散），极限审敛法(sinx,cosx,n!)，积分判别法（常规难做的），根值判别法（n次方）

（3）等价无穷小之间敛散性相同（利用泰勒公式）tanx，e^x，sinx

（4）前n项和极限存在，级数收敛（充分必要条件）

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等价无穷小同敛散

与是等价无穷小，敛散性相同，所以发散，排除A，D

由莱布尼兹得知，收敛，所以条件收敛

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二、求和函数及展开

1、求和函数

（1）先积后导，先导后积，泰勒公式

（2）解线性微分方程

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解线性方程求和函数

2、求和

3、和函数的展开

（1）在x = x0处展开

麦克劳林公式：

（还可以用于求f的n阶导）

(2)直接用泰勒展开

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三、求收敛域、收敛区间

（1）收敛域要判断端点敛散性

（2），反向是无法推出来的。也就是说可能存在收敛半径，但极限不存在。

（3）可以适用根值法

（4）非幂级数的收敛域，换元，转换为幂级数

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四、傅里叶级数