《动手学深度学习 Pytorch版》 6.1 从全连接层到卷积
6.1.1 不变性
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平移不变性（translation invariance）：
不管检测对象出现在图像中的哪个位置，神经网络的前面几层应该对相同的图像区域具有相似的反应，即为“平移不变性”。
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局部性（locality）：
神经网络的前面几层应该只探索输入图像中的局部区域，而不过度在意图像中相隔较远区域的关系，这就是“局部性”原则。最终，可以聚合这些局部特征，以在整个图像级别进行预测。
6.1.2 多层感知机的限制
假设多层感知机的输入是 X X X，将其隐藏表示记为 H H H（二者形状相同）。
使用 [ X ] i j [\boldsymbol{X}]_{ij} [X]ij 和 [ H ] i j [\boldsymbol{H}]_{ij} [H]ij 表示位置 ( i , j ) (i,j) (i,j) 位置上的像素点。
因为每个像素点都需要和其他像素点联系，故每个像素点都需要一个二阶的权重张量，又由于是二维图像，故最终权重张量 W \mathrm{W} W 为四维。
再假设偏置参数为 U U U，则可以将全连接层表示为：
[ H ] i j = [ U ] i j + ∑ k ∑ l [ W ] i , j , k , l [ X ] k , l [\boldsymbol{H}]_{ij} = [\boldsymbol{U}]_{ij}+\sum_k\sum_l[\mathrm{W}]_{i,j,k,l}[\boldsymbol{X}]_{k,l} [H]ij=[U]ij+k∑l∑[W]i,j,k,l[X]k,l
为了方便表示，我们对下标 ( k , l ) (k,l) (k,l) 进行重新索引，使得 k = i + a , l = j + b k=i+a,l=j+b k=i+a,l=j+b，则可以得到重拍后的权重矩阵 [ V ] i , j , a , b = [ W ] i , j , i + a , j + b [V]_{i,j,a,b}=[\mathrm{W}]_{i,j,i+a,j+b} [V]i,j,a,b=[W]i,j,i+a,j+b。
上式可表述为：
[ H ] i j = [ U ] i j + ∑ a ∑ b [ V ] i , j , a , b [ X ] i + a , j + b [\boldsymbol{H}]_{ij} = [\boldsymbol{U}]_{ij}+\sum_a\sum_b[\mathrm{V}]_{i,j,a,b}[\boldsymbol{X}]_{i+a,j+b} [H]ij=[U]ij+a∑b∑[V]i,j,a,b[X]i+a,j+b
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平移不变性
现在引入平移不变性，即检测对象在输入 X X X 中的平移应该仅导致隐藏表示 H H H 中的平移。简言之，无须每个像素都要独享一个二维权值张量，所有像素共享同一个即可，故权重张量降为二维即可。此时式子可以简化为：
[ H ] i j = u + ∑ a ∑ b [ V ] a , b [ X ] i + a , j + b [\boldsymbol{H}]_{ij} = u+\sum_a\sum_b[\boldsymbol{V}]_{a,b}[\boldsymbol{X}]_{i+a,j+b} [H]ij=u+a∑b∑[V]a,b[X]i+a,j+b
这就是所谓卷积，使用系数 [ V ] a , b [\boldsymbol{V}]_{a,b} [V]a,b 对 ( i , j ) (i,j) (i,j) 附近的像素 ( i + a , j + b ) (i+a,j+b) (i+a,j+b) 进行加权得到 [ H ] i j [\boldsymbol{H}]_{ij} [H]ij。
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局部性
对于上述的 a , b a,b a,b 不应该取太大，即范围不应太大，至少不应该是全图。故可将 ∣ a ∣ > Δ ∣ b ∣ > Δ \left|a\right|>\Delta \left|b\right|>\Delta ∣a∣>Δ∣b∣>Δ的范围设置为0（即不考虑范围外的影响）。故可将式子重写为：
[ H ] i j = u + ∑ a Δ ∑ b Δ [ V ] a , b [ X ] i + a , j + b [\boldsymbol{H}]_{ij} = u+\sum_a^\Delta\sum_b^\Delta[\boldsymbol{V}]_{a,b}[\boldsymbol{X}]_{i+a,j+b} [H]ij=u+a∑Δb∑Δ[V]a,b[X]i+a,j+b
至此，可以称 V V V 为卷积核。简言之，卷积操作实际就是计算一圈像素对中间像素的影响，使用不同的卷积核则计算的是不同方面的影响，最终实现提取不同特征的效果。此处参考王木头大佬的视频《从“卷积”、到“图像卷积操作”、再到“卷积神经网络”，“卷积”意义的3次改变》。
6.1.3 卷积
在数学中，卷积被定义为：
( f ∗ g ) ( x ) = ∫ f ( z ) g ( x − z ) d z (f*g)(\boldsymbol{x})=\int f(\boldsymbol{z})g(\boldsymbol{x}-z)d\boldsymbol{z} (f∗g)(x)=∫f(z)g(x−z)dz
用一个例子说明的话，一个不确定的输入函数叠加上一个确定的输出函数，计算最终余量即为卷积。
6.1.4 “沃尔多在哪里”回顾
上面一直将图片作为二维张量，实际上图像一般包含三个通道（即RGB三原色），因此图像应该是一个由高度、宽度和颜色组成的三维张量。故我们应将 X \boldsymbol{X} X 索引为 [ X ] i , j , k [\boldsymbol{X}]_{i,j,k} [X]i,j,k，由此卷积核相应的调整为 [ V ] a , b , c [\boldsymbol{V}]_{a,b,c} [V]a,b,c，再添加一个 d d d 以实现不同通道的输出，即：
[ H ] i , j , d = ∑ a = − Δ Δ ∑ b = − Δ Δ ∑ c [ V ] a , b , c , d [ X ] i + a , j + b , c [\boldsymbol{H}]_{i,j,d} = \sum_{a=-\Delta}^\Delta\sum_{b=-\Delta}^\Delta\sum_c[\boldsymbol{V}]_{a,b,c,d}[\boldsymbol{X}]_{i+a,j+b,c} [H]i,j,d=a=−Δ∑Δb=−Δ∑Δc∑[V]a,b,c,d[X]i+a,j+b,c
练习
（1）假设卷积层式（6.3），覆盖的局部区域 Δ = 0 \Delta=0 Δ=0。在这种情况下，证明卷积核为每组通道独立地实现一个全连接层。
若 Δ = 0 \Delta=0 Δ=0 则意味着卷积核大小为1，那感觉和全连接没区别的哇。
（2）为什么平移不变性可能也不是好主意呢？
太单一，也许不同区域需要的卷积核不一样。
（3）当从图像边界像素获取隐藏表示时，我们需要思考哪些问题？
应该考虑关于填充的事情。
（4）描述一个类似的音频卷积层的架构。
将音频信息转换为二维数据或更高维再进行卷积操作。
（5）卷积层也适合于文本数据吗？为什么？
我觉得可以，只要找到合适的方法数据化文本。因为卷积这种对于特征的提取对于自然语言也应该是适用的。
（6）证明在式（6.6）中， f ∗ g = g ∗ f f*g=g*f f∗g=g∗f。
( f ∗ g ) ( x ) = ∫ f ( z ) g ( x − z ) d z = ∫ f ( x − t ) g ( t ) d ( x − t ) ( 令 t = x − z ) = ∫ g ( t ) f ( x − t ) d t = ( g ∗ f ) ( x ) \begin{align} (f*g)(\boldsymbol{x}) &= \int f(\boldsymbol{z})g(\boldsymbol{x-z})d\boldsymbol{z}\\ &= \int f(\boldsymbol{x-t})g(\boldsymbol{t})d\boldsymbol{(x-t)}\qquad(令 t=\boldsymbol{x-z})\\ &= \int g(\boldsymbol{t})f\boldsymbol{(x-t)}d\boldsymbol{t}\\ &= (g*f)(\boldsymbol{x}) \end{align} (f∗g)(x)=∫f(z)g(x−z)dz=∫f(x−t)g(t)d(x−t)(令t=x−z)=∫g(t)f(x−t)dt=(g∗f)(x)