微分方程应用案例

 下表1给出了近两个世纪美国人口统计表（单位：百万），建立数学模型并检验，最后用它预报2010年美国的人口。

年	1790	1800	1810	1820	1830	1840	1850	1860
人口	3.9	5.3	7.2	9.6	12.9	17.1	23.2	31.4
年	1870	1880	1890	1900	1910	1920	1930
人口	38.6	50.2	62.9	76.0	92.0	106.5	123.2
年	1940	1950	1960	1970	1980	1990	2000
人口	131.7	150.7	179.3	204.0	226.5	251.4	281.4

 1、指数增长模型（Malthus人口模型）

托马斯·罗伯特·马尔萨斯牧师(Thomas Robert Malthus，1766年2月13日-1834年12月23日)。英国教士、人口学家、经济学家。以其人口理论闻名于世。     在《人口论》(1798)中指出:人口按几何级数增长而生活资源只能按算术级数增长，所以不可避免地要导致饥馑、战争和疾病;呼吁采取果断措施，遏制人口出生率。其理论对李嘉图产生过影响 。

【模型假设】

1. 人口增长率为常数
2. 单位时间内人口的绝对增长与当前人口数量成正比
3. 人口总数随时间连续变化

【符号说明】

【模型建立】

 t时刻人口总量为x(t)，对一个地区或国家来说，x(t)数量很大，视为一个可微函数。 

  记初始时刻t=0时，人口总数为x0。根据假设（2），从t到t+Δt时间内，人口的增量正比于x(t)与Δt的乘积，即

令Δt→0，得到x(t)的微分方程【2.1】

变量分离容易求出【2.2】

【2.2】称为指数增长模型，也称Malthus人口模型。

【参数估计】 

为了更好利用表1的数据和线性拟合参数，对【2】两边取对数，有

设y=lnx,a=lnx0,则有y=a+rt【3】

 这类模型的目的是为了预报预测，预测准不准确不是模型本身可以完全决定的，需要用实际数据检验。所以，在数据拟合时，一般采用前2/3的数据来拟合参数（自找导师监督学习），用后1/3的数据来检验模型的可用性。如果数据本身较少，也说明可获取的信息太少，模型的可信度本来就低。

 用前12个数据，用matlab软件做直线拟合

clear
A=xlsread('d:\Arenkou.xlsx');
A=A';
t=A(:,1);x=A(:,2);
t1=t(1:12);y=log(x(1:12));
[b,bt,r,rt,st]=regress(y,[ones(length(y),1),t1]);
x0=exp(b(1));r=b(2);

得到预报公式为： 

【4】

图2是前12个年份的理论值（线）与实际值（*）的对比。可以看出，这个模型基本上能够描述19世界以前美国人口增长。 这和假设（1），即人口增长率是常数基本吻合。

                        图2  指数增长模型拟合图 （1790-1900）

 图3是全部年份的理论值（线）与实际值（*）的对比。从图可以看出，进入20世纪后，美国人口明增长变慢了，模型不再适应。 

                              图3 指数增长模型拟合图（1790-2000） 

【误差原因分析】

利用差商的形式来定义增长率，即【5】

将表1中数据代入【5】，得到r(k),并绘制如图4。 

                              图4 时间-增长率散点图

由图4可以看出，虽然增长率是摆动的，但随着人口增长，增长率有明显的下降趋势。也可以看到，1930年左右增长率特别小（29年经济大萧条所致）。 

【模型的优缺点】

1、优点

1. 模型简单，易于理解和计算
2. 从第一张图可以看出，Malthus人口模型在短期内拟合较好，短期预测误差不是很大

2、缺点

1. 从第二张图可以看出，Malthus模型不能做中长期的预测，误差较大
2. 从看，这根本不可能，说明模型假设存在致命的缺陷。

3、修正方案 

把增长率是常数修改为增长率随人口增加而降低。