【考研数学】线性代数第五章 —— 特征值和特征向量(3,矩阵对角化理论)

文章目录

  • 引言
  • 三、矩阵对角化理论
    • 3.1 一般矩阵的相似对角化
    • 3.2 实对称矩阵的相似对角化
      • 3.2.1 实对称矩阵相似对角化定理
      • 3.2.2 实对称矩阵相似对角化过程
  • 写在最后


引言

承接前文,我们来看看矩阵的对角化理论。

我们前面提到对角化是在矩阵相似那里,若存在可逆矩阵 P P P ,使得 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=\Lambda P1AP=Λ ,其中 Λ \Lambda Λ 为对角矩阵,则称 A A A 可以相似对角化。


三、矩阵对角化理论

3.1 一般矩阵的相似对角化

A \pmb{A} A n n n 阶矩阵,其特征值为 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn ,若存在可逆矩阵 P \pmb{P} P ,使得 P − 1 A P = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{P}^{-1}\pmb{AP}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}, P1AP= λ1000λ2000λn , 称矩阵 A \pmb{A} A相似对角化,或 A \pmb{A} A 可对角化,或与对角矩阵相似。

第一步: 由特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda\pmb{E}-\pmb{A}|=0 λEA=0 ,求出矩阵 A \pmb{A} A 的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn ;

第二步: 求齐次线性方程组 ( λ i E − A ) X = 0 ( 1 ≤ i ≤ n ) (\lambda_i\pmb{E}-\pmb{A})\pmb{X}=\pmb{0}(1\leq i \leq n) (λiEA)X=0(1in) 的基础解系,进而求出矩阵 A \pmb{A} A 的线性无关的特征向量 α 1 , α 2 , ⋯   , α m \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m} α1,α2,,αm

回忆一下:
1.设 r ( A ) = r < n r(A)=rr(A)=r<n ,则 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 所有解构成的解向量组的极大线性无关组称为方程组 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的一个基础解系。基础解系中所含有的线性无关的解向量的个数为 ( n − r ) (n-r) (nr) 个。具体求解方法见方程组那一篇文章,传松门 。
2.上一篇文章有定理 4:不同特征值对应的特征向量线性无关。

第三步:

(一)若 m = n m=n m=n ,则矩阵 A \pmb{A} A 可相似对角化,对角化过程如下:

有定理 5:设 A \pmb{A} A n n n 阶矩阵,则 A \pmb{A} A 可相似对角化(或与对角矩阵相似)的充分必要条件是 A \pmb{A} A n n n 个线性无关的特征向量。

P = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) \pmb{P}=(\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n}) P=(α1,α2,,αn) ,显然 P \pmb{P} P 可逆。

列向量组线性无关,则矩阵满秩,自然是可逆的。

A α 1 = λ 1 α 1 , A α 2 = λ 2 α 2 , ⋯   , A α n = λ n α n \pmb{A\alpha_1}=\lambda_1\pmb{\alpha_1},\pmb{A\alpha_2}=\lambda_2\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{A\alpha_n}=\lambda_n\pmb{\alpha_n} Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,,Aαn=λnαn 得: A P = ( A α 1 , A α 2 , ⋯   , A α n ) = ( λ 1 α 1 , λ 2 α 2 , ⋯   , λ n α n ) = P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{AP}=(\pmb{A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_n})=(\lambda_1\pmb{\alpha_1},\lambda_2\pmb{\alpha_2},\cdots,\lambda_n\pmb{\alpha_n})=\pmb{P}\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}, AP=(Aα1,Aα2,,Aαn)=(λ1α1,λ2α2,,λnαn)=P λ1000λ2000λn , 两边同时左乘以 P − 1 \pmb{P^{-1}} P1 ,有 P − 1 A P = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{P}^{-1}\pmb{AP}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}. P1AP= λ1000λ2000λn .
(二)若 m < n mm<n ,则矩阵 A \pmb{A} A 不可相似对角化。

3.2 实对称矩阵的相似对角化

3.2.1 实对称矩阵相似对角化定理

定理 1 —— 若 A T = A \pmb{A}^T=\pmb{A} AT=A ,则 A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。

定理 2 —— 设 A T = A \pmb{A}^T=\pmb{A} AT=A ,则存在正交矩阵 Q \pmb{Q} Q ,使得 Q T A Q = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{Q}^T\pmb{AQ}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}. QTAQ= λ1000λ2000λn .

3.2.2 实对称矩阵相似对角化过程

第一步: 由特征方程 ∣ λ E − A ∣ = 0 |\lambda\pmb{E}-\pmb{A}|=0 λEA=0 ,求出矩阵 A \pmb{A} A 的特征值 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n λ1,λ2,,λn ;

第二步: 求齐次线性方程组 ( λ i E − A ) X = 0 ( 1 ≤ i ≤ n ) (\lambda_i\pmb{E}-\pmb{A})\pmb{X}=\pmb{0}(1\leq i \leq n) (λiEA)X=0(1in) 的基础解系,进而求出矩阵 A \pmb{A} A 的线性无关的特征向量 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n} α1,α2,,αn

第三步:

(一)找可逆矩阵 P \pmb{P} P ,按照上述一般矩阵对角化过程进行:

P = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) \pmb{P}=(\pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n}) P=(α1,α2,,αn) ,显然 P \pmb{P} P 可逆。

A α 1 = λ 1 α 1 , A α 2 = λ 2 α 2 , ⋯   , A α n = λ n α n \pmb{A\alpha_1}=\lambda_1\pmb{\alpha_1},\pmb{A\alpha_2}=\lambda_2\pmb{\alpha_2},\cdots,\pmb{A\alpha_n}=\lambda_n\pmb{\alpha_n} Aα1=λ1α1,Aα2=λ2α2,,Aαn=λnαn 得: A P = ( A α 1 , A α 2 , ⋯   , A α n ) = ( λ 1 α 1 , λ 2 α 2 , ⋯   , λ n α n ) = P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{AP}=(\pmb{A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_n})=(\lambda_1\pmb{\alpha_1},\lambda_2\pmb{\alpha_2},\cdots,\lambda_n\pmb{\alpha_n})=\pmb{P}\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}, AP=(Aα1,Aα2,,Aαn)=(λ1α1,λ2α2,,λnαn)=P λ1000λ2000λn , 两边同时左乘以 P − 1 \pmb{P^{-1}} P1 ,有 P − 1 A P = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{P}^{-1}\pmb{AP}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}. P1AP= λ1000λ2000λn .
(二)找正交矩阵 Q \pmb{Q} Q ,使得 Q T A Q \pmb{Q}^T\pmb{AQ} QTAQ 为对角矩阵的过程如下:

(1)将 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n} α1,α2,,αn 进行施密特正交化为 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n} β1,β2,,βn

(2)将 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \pmb{\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n} β1,β2,,βn 规范化为 γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ n \pmb{\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n} γ1,γ2,,γn 。令 Q = ( γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ n ) \pmb{Q=(\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n}) Q=(γ1,γ2,,γn) ,显然 Q \pmb{Q} Q 为正交矩阵。实对称矩阵特征向量进行施密特正交化后,仍然为特征向量,因此有 A γ 1 = λ 1 γ 1 , A γ 2 = λ 2 γ 2 , ⋯   , A γ n = λ n γ n \pmb{A\gamma_1}=\lambda_1\pmb{\gamma_1},\pmb{A\gamma_2}=\lambda_2\pmb{\gamma_2},\cdots,\pmb{A\gamma_n}=\lambda_n\pmb{\gamma_n} Aγ1=λ1γ1,Aγ2=λ2γ2,,Aγn=λnγn 得: A Q = Q [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{AQ}=\pmb{Q}\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}, AQ=Q λ1000λ2000λn , 两边同时左乘以 Q T \pmb{Q^{T}} QT ,有 Q T A Q = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{Q}^{T}\pmb{AQ}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}. QTAQ= λ1000λ2000λn .

一般矩阵,不一定能相似对角化,要求有 n n n 个线性无关的特征向量才可以相似对角化。
实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量本来就是正交的,之所以还要正交规范化,是为了求一个正交矩阵。

下面是一些笔记注解:

  1. 若矩阵 A \pmb{A} A 的特征值都是单值,则 A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。
  2. A \pmb{A} A 为实对称矩阵,则 A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。
  3. n n n 阶矩阵 A \pmb{A} A n n n 个线性无关的特征向量,则 A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。
  4. 若矩阵 A \pmb{A} A 的每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量的个数相同时, A \pmb{A} A 一定可以相似对角化。
  5. A \pmb{A} A 至少有一个特征值,其重数与其对应的线性无关的特征向量的个数不同时, A \pmb{A} A 一定不能相似对角化。
  6. A \pmb{A} A 不是实对称矩阵,则 A \pmb{A} A 在相似对角化的过程中,不可对特征向量进行正交规范化。因为有可能正交规范后就不是特征向量了。

写在最后

这一块内容刚接触可太费头脑了,而且一定是需要大量练习题目的。

那到此,关于特征值和特征向量的理论部分告一段落了,最后只剩下一个二次型了。

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