【考研数学】线性代数第五章 —— 特征值和特征向量（3，矩阵对角化理论）

---

引言

承接前文，我们来看看矩阵的对角化理论。

我们前面提到对角化是在矩阵相似那里，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1}AP=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 为对角矩阵，则称 $A$ 可以相似对角化。

---

三、矩阵对角化理论

3.1 一般矩阵的相似对角化

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，其特征值为 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ，若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 P − 1 A P = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{P}^{-1}\pmb{AP}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}, P−1AP= ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​ ​, 称矩阵 $A$ 可相似对角化，或 $A$ 可对角化，或与对角矩阵相似。

第一步： 由特征方程 $|\lambda E-A|=0$ ，求出矩阵 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ;

第二步： 求齐次线性方程组 $({\lambda }_{i}E-A)X=0(1\le i\le n)$ 的基础解系，进而求出矩阵 $A$ 的线性无关的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_m$ ；

回忆一下：
1.设 $r(A)=r<n$ ，则 $AX=0$ 所有解构成的解向量组的极大线性无关组称为方程组 $AX=0$ 的一个基础解系。基础解系中所含有的线性无关的解向量的个数为 $(n-r)$ 个。具体求解方法见方程组那一篇文章，传松门 。
2.上一篇文章有定理 4：不同特征值对应的特征向量线性无关。

第三步：

（一）若 $m=n$ ，则矩阵 $A$ 可相似对角化，对角化过程如下：

有定理 5：设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $A$ 可相似对角化（或与对角矩阵相似）的充分必要条件是 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

令 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$ ，显然 $P$ 可逆。

列向量组线性无关，则矩阵满秩，自然是可逆的。

由 $A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2,\cdots ,A{\alpha }_n={\lambda }_n{\alpha }_n$ 得： A P = ( A α 1 , A α 2 , ⋯   , A α n ) = ( λ 1 α 1 , λ 2 α 2 , ⋯   , λ n α n ) = P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{AP}=(\pmb{A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_n})=(\lambda_1\pmb{\alpha_1},\lambda_2\pmb{\alpha_2},\cdots,\lambda_n\pmb{\alpha_n})=\pmb{P}\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}, AP=(Aα1​,Aα2​,⋯,Aαn​)=(λ1​α1​,λ2​α2​,⋯,λn​αn​)=P ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​ ​, 两边同时左乘以 $P^{-1}$ ，有 P − 1 A P = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{P}^{-1}\pmb{AP}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}. P−1AP= ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​ ​.
（二）若 $m<n$ ，则矩阵 $A$ 不可相似对角化。

3.2 实对称矩阵的相似对角化

3.2.1 实对称矩阵相似对角化定理

定理 1 —— 若 $A^T=A$ ，则 $A$ 一定可以相似对角化。

定理 2 —— 设 $A^T=A$ ，则存在正交矩阵 $Q$ ，使得 Q T A Q = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{Q}^T\pmb{AQ}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}. QTAQ= ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​ ​.

3.2.2 实对称矩阵相似对角化过程

第一步： 由特征方程 $|\lambda E-A|=0$ ，求出矩阵 $A$ 的特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n$ ;

第二步： 求齐次线性方程组 $({\lambda }_{i}E-A)X=0(1\le i\le n)$ 的基础解系，进而求出矩阵 $A$ 的线性无关的特征向量 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ ；

第三步：

（一）找可逆矩阵 $P$ ，按照上述一般矩阵对角化过程进行：

令 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$ ，显然 $P$ 可逆。

由 $A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2,\cdots ,A{\alpha }_n={\lambda }_n{\alpha }_n$ 得： A P = ( A α 1 , A α 2 , ⋯   , A α n ) = ( λ 1 α 1 , λ 2 α 2 , ⋯   , λ n α n ) = P [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{AP}=(\pmb{A\alpha_1,A\alpha_2,\cdots,A\alpha_n})=(\lambda_1\pmb{\alpha_1},\lambda_2\pmb{\alpha_2},\cdots,\lambda_n\pmb{\alpha_n})=\pmb{P}\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}, AP=(Aα1​,Aα2​,⋯,Aαn​)=(λ1​α1​,λ2​α2​,⋯,λn​αn​)=P ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​ ​, 两边同时左乘以 $P^{-1}$ ，有 P − 1 A P = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{P}^{-1}\pmb{AP}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}. P−1AP= ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​ ​.
（二）找正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{T}AQ$ 为对角矩阵的过程如下：

（1）将 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n$ 进行施密特正交化为 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ ；

（2）将 ${\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n$ 规范化为 ${\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n$ 。令 $Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,\cdots ,{\gamma }_n)$ ，显然 $Q$ 为正交矩阵。实对称矩阵特征向量进行施密特正交化后，仍然为特征向量，因此有 $A{\gamma }_1={\lambda }_1{\gamma }_1,A{\gamma }_2={\lambda }_2{\gamma }_2,\cdots ,A{\gamma }_n={\lambda }_n{\gamma }_n$ 得： A Q = Q [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] , \pmb{AQ}=\pmb{Q}\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}, AQ=Q ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​ ​, 两边同时左乘以 $Q^T$ ，有 Q T A Q = [ λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ λ n ] . \pmb{Q}^{T}\pmb{AQ}=\begin{bmatrix} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{bmatrix}. QTAQ= ​λ1​0⋮0​0λ2​⋮0​⋯⋯⋯​00⋮λn​​ ​.

一般矩阵，不一定能相似对角化，要求有 $n$ 个线性无关的特征向量才可以相似对角化。
实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量本来就是正交的，之所以还要正交规范化，是为了求一个正交矩阵。

下面是一些笔记注解：

1. 若矩阵 $A$ 的特征值都是单值，则 $A$ 一定可以相似对角化。
2. 若 $A$ 为实对称矩阵，则 $A$ 一定可以相似对角化。
3. 若 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量，则 $A$ 一定可以相似对角化。
4. 若矩阵 $A$ 的每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量的个数相同时，$A$ 一定可以相似对角化。
5. 若 $A$ 至少有一个特征值，其重数与其对应的线性无关的特征向量的个数不同时，$A$ 一定不能相似对角化。
6. 若 $A$ 不是实对称矩阵，则 $A$ 在相似对角化的过程中，不可对特征向量进行正交规范化。因为有可能正交规范后就不是特征向量了。

---

写在最后

这一块内容刚接触可太费头脑了，而且一定是需要大量练习题目的。

那到此，关于特征值和特征向量的理论部分告一段落了，最后只剩下一个二次型了。