机器学习 jupyter Python 线性回归（自己写的算法）

一、寻找最佳拟合曲线

线性回归的目的是预测数值型的目标值。
对给定的样本点用直线(平面)进行拟合，求解最佳直线(平面)的过程，就是求解回归方程的过程。
图示说明：
1.一元线性回归

2.二元线性回归

例如：你想要预测的房价，可能会这么计算：y(房价)，x(房价大小)
=1000+200∗
这就是所谓的回归方程（regression equation），其中的1000和200称作回归系数（regression weights）。
求这些回归系数的过程就是回归。一旦有了这些回归系数，再给定输入，做预测就非常容易了。
具体的做法是用回归系数乘以输入值，再将结果全部加在一起，就得到了预测值y。

二、常见的线性回归表达式

1.一元线性回归表达式

2.多元线性回归表达式

注：一元线性回归是特殊的多元线性回归
3.小结
<1>线性回归解决回归问题，即做出预测（目标变量是连续性问题）
<2>回归系数确定了，回归方程就确定了
<3>求回归系数的过程就是回归

三、线性回归代价函数

1.代价函数就是为了求最佳直线，需要运用最小二乘法求最佳函数
2.最小二乘法的思想
目标是最小化误差平方和，从而找到最优模型。
通俗来讲，就是使得真实值和预测值（拟合值，模型给出的）之间的距离平方和最小化。
注最小误差
y为真实值，h(x)为预测值。
3.最小二乘法分为两类：
<1>.线性最小二乘法

<2>.非线性最小二乘法
经常使用数值方法来求解。数值方法包括：随机梯度下降或牛顿法等。
注：随机梯度下降也可以解决线性问题。
4.最小二乘法求解方法
<1>矩阵求导方法（标准方程法）
矩阵求导方法思想就是把目标函数划分为矩阵运算问题。

首先判断

是否为可逆矩阵。
如果可逆，将得到：

推导过程：

注：1.numpy.linalg模块包含线性代数的函数。使用这个模块，可以计算逆矩阵、求特征值、解线性方程组以及求行列式。
2.
<2>数值方法随机梯度下降（在逻辑回归部分求解回归方程就是使用该方法）
基本思路：对参数向量求导，使其梯度为0，然后得到参数变量的迭代更新公式

<3>数值方法牛顿法
利用泰勒公式展开，利用梯度和海塞矩阵进行迭代下降，速度很快。

变量以牛顿方法来下降。牛顿方向定义为：

四、和Logistic回归对比

逻辑回归处理分类问题，线性回归处理回归问题，这是两者的本质区别！

案列1：

第一列为偏置项，第二列为特征值（自变量）x，第三列为因变量y。
ex0.txt 部分数据：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

np.set_printoptions(threshold=np.inf)  #显示全部行列的内容
dataSet=np.genfromtxt('ex0.txt')
x_data=dataSet[:,:-1]
y_data=dataSet[:,-1]
def plot():
    plt.scatter(x_data[:,1],y_data)
plot()
plt.show()

def standRegres(xArr,yArr):
    xMat=np.mat(xArr)
    yMat=np.mat(yArr).T
    xTx=xMat.T*xMat
    if np.linalg.det(xTx)==0.0:
        print('这个是矩阵是奇异矩阵，矩阵不可逆')
        return
    ws=(xTx).I*(xMat.T*yMat)
    return ws
ws=standRegres(x_data,y_data)
print(ws)

yHat=x_data*ws
plt.plot(x_data[:,1],yHat,c='r')
plot()
plt.show()

案列总结：
1.用genfromtxt函数读取文件并划分为x_data,y_data，为了画关于x_data[1]和y_data的散点。
2.定义standRegres函数，先将数组转变为矩阵，方便运算；判断xTx是否为奇异矩阵，若是则进行 ws=(xTx).I*(xMat.T*yMat)
3.写出预测函数，画出直线。

注：想了解sklearn里面的线性回归点击这里