矩阵论复习笔记:矩阵直积及其应用

1.矩阵直积及其应用类题目

1.1 常用矩阵直积知识回顾

直积常用性质:

• 1.$A⨂B\ne B⨂A$

• 2.$(A_1+A_2)⨂B=A_1⨂B+A_2⨂B$

• 3.$(A⨂B)⨂C=A⨂(B⨂C)$

• 4.若$A_1,A_2$可以做乘法运算，$B_1,B_2$可以做乘法运算:
  $$(A_1⨂A_2)(B_1⨂B_2)=(A_1{A}_2)⨂(B_1{B}_2)$$

• 5.若$A,B$可以求逆:
  $$(A⨂B{)}^{-1}=A^{-1}⨂B^{-1}$$
  若不能求逆运算则:
  $$(A⨂B{)}^{+}=A^{+}⨂B^{+}$$

• 6.$(A⨂B{)}^H=A^H⨂B^H$

• 7.$det(A⨂B)=(detA{)}^n(detB{)}^m(A\in C^{m\times m},B\in C^{n\times n})$

• 8.$tr(A⨂B)=(trA)⨂(trB)$

• 9.$rank(A⨂B)=rankA⨂rankB$

• 10 $e^{I⨂A}=I⨂e^A,e^{A⨂I}=A⨂I$

• 11.$e^{(A⨂I_n+I_m⨂B)}=e^A⨂e^B$

• 12.设$f(A,B)={\sum }_{i=1}^{l_1}{\sum }_{j=1}^{l_2}{c}_{ij}{A}^i⨂B^j$对应的二元多项式为;$f(\lambda ,\mu )={\sum }_{i=1}^{l_1}{\sum }_{j=1}^{l_2}{c}_{ij}(\lambda {)}^i(\mu {)}^j$

  若$A$的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,...{\lambda }_m$,$B$的特征值为${\mu }_1,{\mu }_2,...{\mu }_n$。得到的$f(A,B)$的所有特征值为:
  $$\begin{gathered} f({\lambda }_s,{\mu }_r)=\sum _{i=1}^{l_1}\sum _{j=1}^{l_2}{c}_{ij}{\lambda }_s^i{\mu }_r^j \\ s=1,2..m,r=1,2..n \end{gathered}$$

1.2 线性矩阵方程可解性

设$A\in C^{m\times p},X\in C^{p\times q},B\in C^{q\times n}$,$\overline{vec}(X)$为$X$的行拉直向量，则有:
$$\overline{vec}(AXB)=(A⨂B^T)\overline{vec}(X)$$
设$A_{m\times m}$的特征值为${\lambda }_1,{\lambda }_2,...{\lambda }_m$且$B_{n\times n}$的特征值为${\mu }_1,{\mu }_2,...{\mu }_n$,方程${\sum }_{k=0}^l{A}^{k}X{B}^k=F$有唯一解的充要条件是$\forall {\lambda }_i,{\mu }_j$,有${\sum }_{k=0}^l({\lambda }_i{\mu }_j{)}^k\ne 0$。方程${\sum }_{k=0}^l{A}^{k}X{B}^k=O$非零解的充要条件是$\exists {\lambda }_i,{\mu }_j$,有${\sum }_{k=0}^l({\lambda }_i{\mu }_j{)}^k=0$。同样的,对于以下的方程:
$$\frac{dY(t)}{dt}=AY(t)+Y(t)B,Y(t){|}_{t=0}=F$$
若$A,B$的特征值之和不等于零,
如果积分$X{\int }_0^{\infty }{e}^{At}F{e}^{Bt}dt$存在,则方程有唯一的解:

$$X=-{\int }_0^{\infty }{e}^{At}F{e}^{Bt}dt$$

若特征值实部$Re({\lambda }_i)<0,Re({\mu }_j)<0$，则$X$有唯一的解$X=-{\int }_0^{\infty }{e}^{At}F{e}^{Bt}dt$

换句话说求解得到该方程的唯一解为:
$$X=e^{At}{X}_0{e}^{Bt}$$

2.例题

设$n$阶方阵$A$的特征值为:${\lambda }_1,{\lambda }_2,...{\lambda }_n$,则矩阵方程$AX{A}^2+XA-X=0$只有唯一零解的充分必要条件()。

解:对该矩阵方程进行行拉直向量变换:
$$\overline{vec}(AX{A}^2+XA-X)=0$$
​ 得到：
$$(A⨂(A^2{)}^T+I⨂A^T-I⨂I)\overline{vec}(X)=0$$
​

​ $f(A,A^T)=(A⨂(A^2{)}^T+I⨂A^T-I⨂I)$的二元多项式为:
$$f(x,y)=x{y}^2+y-1$$
若要使得上述线性方程组有唯一零解,即说明其特征值必须全部非零。即$\forall {\mu }_i,{\mu }_j,f({\mu }_i,{\mu }_j)\ne 0$。

即:
$${\mu }_i{\mu }_j^2+{\mu }_j-1\ne 0(i,j=1,2..n)$$