【每日一题】补档 ARC136D - Without Carry | 子集DP | 困难

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给定一个长度为 $n$ 的整数数组 $a$ ，问有多少个不同的下标对 $i$ 和 $j$ 满足 $a_i+a_j$ 的加法中没有进位。

数据范围

$2\le n\le 10^6$
$0\le a_i<10^6$

题解

十进制的子集DP

$f[j][i]$ 表示前 $j$ 位（第1位是个位，第2位是十位）的数 $i$ 的子集

• 考虑前 $j-1$ 位
  $f[j][i]=f[j-1][i]$
• 考虑第 $j$ 位的数 $i$ 的子集
  $i-10^{j-1},i-2\times 10^{j-1},...$
  需要考虑的是 $i-10^{j-1}$ 的子集也是 $i$ 的子集，所以只需要加上 $i-10^{j-1}$ 的子集即可。
  $f[j][i]=f[j][i]+f[j][i-10^{j-1}]$

因为每次只用到前一位的状态，所以可以直接滚动数组优化。

时间复杂度：$O(6n)$ ，$6$ 是因为值域至多是 $6$ 位数

代码

#include 
using namespace std;

const int MAX = 1000000;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    vector<long long> f(MAX);

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> a[i];
        f[a[i]] += 1;
    }

    // f[j][i] 表示只考虑十进制的前 j 位 （个位是第一位），i 的子集的数量
    // f[j][i] = f[j - 1][i]
    // 那么只考虑第 j 位
    // 对于第 j 位，i-10^{j-1}, i-2*10^{j-1} ... 都是其子集
    // 但是 f[i-10^{j-1}] 的子集也是 f[i][j] 的子集，所以只考虑这个即可
    // f[j][i] += f[j][i-10^{j-1}]
    for (int j = 1; j < MAX; j *= 10) {
        for (int i = 0; i < MAX; ++i) {
            if (i / j % 10 > 0) {
                f[i] += f[i - j];
            }
        }
    }

    long long ans = 0;
    for (int x: a) {
        ans += f[999999 - x];
        bool ok = true;
        while (x > 0) {
            if (x % 10 > 4) {
                ok = false;
                break;
            }
            x /= 10;
        }
        if (ok) ans -= 1;
    }

    cout << ans / 2 << "\n";

    return 0;
}