电磁学-高斯定理的证明和应用

## **高斯定理的理解**

## 电场线密度：该点的电场强度，即E的大小

## 电场线性质：
1.起源于正电荷，止于负电荷，不会中断
正电荷是静电场的源头，电荷是静电场的尾闾 所以说

2.电场线能形成闭合曲线

3.电场线不相交

 

电通量的计算

电通量是一个标量，由E和S的两个矢量的点乘

规定 ：法线的正方向为指向 闭合曲面的外侧。

 电场线穿入,cos值小于0，电通量为负值

电场线穿出，cos值大于0，电通量为正

通过闭合面的电通量等于 净穿出闭合面

的电场线的条数

静电场的高斯定理

在真空中的任意静电场内，通过 任一闭合曲面S 的电通量 , 等于该闭合曲面所包围的 电荷电量的代数和 除以 真空介电常数   ， 而 与闭合曲面外的电荷无关

高斯定理正确性的证明

1.规则球面半径，S很方便计算，积分容易

2.不规则面电通量的计算

由于对于任何不规则曲面的物体，只要电荷在其中，都能构建一个合适的规则球体，球体和不规则曲面的电通量是相同的，所以上述解法依然可行

3.

点电荷Q电场中，闭合曲面不包围点电荷， 取任意曲面S， 电场线连续，通过S的净电场线为零

.

 

如上图，电场线穿入封闭曲面之后又穿出，穿入时电通量为负值，穿出时电通量为正，所以电通量为0，也就是说， 电通量不受在封闭曲面外的点电荷影响 ，只有在封闭曲面内的电荷影响电通量的大小。

高斯定理的应用

1 .利用高斯定理求某些电通量

例 ：设均匀电场 和半径为 R 的半球面的轴平行， 计算通过半球面的电通量

分析：由高斯定理可知，我们选择封闭的半球面作为高斯面，由于q=0，所以封闭曲面的电通量为0，封闭曲面的电通量又是由上开放的半球面加上底面圆构成的，底面圆方向与E相反，cos值为-1，所求半球就是总量0减去底面圆的电通量

例 ：立方体边长 a，求 位于中心q 过每一面的通量，以及q位于一顶点,过每一面的通量

对于q位于正方体中心，来说，它的电场线穿过六个面的程度是一样的，由高斯定理，我们选择正方体六个面作为高斯面，总电通量为 ，所以每个面的电通量就是总量除6

对于第二种情况：q位于顶点，乍一看好像找不到封闭曲面作为高斯面，但有了第一题的经验，我们可以构建一个正方体，使得q还是处于大正方体中心，此时我们需要在小正方体旁放置7个小正方体，那样其实裸露在外表面的只有题中小正方体的三个面，关于q在的顶点相连的三个面都处于内部，电通量为0，总电通量不变为

 大正方体一共4x6=24个面，所以最终答案

2、当场源分布具有高度对称性时求场强分布

其实高度对称面不外乎是球体，圆柱体，均匀面密度的面

计算步骤：

（1）. 对称性分析，确定E的大小及方向分布特征

（2）. 作高斯面，计算电通量及  qi

要求： 高斯面必须是闭合曲面且必须通过所求场点

 高斯面的选取使通过该面的电通量易于计算,

通俗来说就是我们需要找到一个高度对称的封闭曲面，作为高斯面，用高斯定理求出总电通量作为解出电场强度E的前提，由于电通量

利用等式解出E,进一步说明封闭曲面可以拆成几个面的组合，其中

可以看出有些面的电通量为0，剩下的面都是容易计算面面积的，所以很容易算出电通量的另一种形式，带入两边的等式则很容易计算电场强度E 

例 3. 均匀带电无限大平面的电场，已知面密度值

由于E具有 面对称

我们选取高斯面: 两底面与平板平行等距 、 侧面与平板垂

因为侧边和面垂直，cos值为0，所以不需要考虑，只需要看电场线穿过的面积，面两侧的面积相同，所以电通量为2ES,因此带入等式中就可以计算

例 求：电荷面密度分别为   、 两个平行放置的 无限大均匀带电平面 的场强分布。

利用上题结论，可以分别分析出两块电荷板各自的电场强度，如果我们规定了X正向方向，则可以算出

that is all, 肝不动了（手动狗头）