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All of Statistics 第二章

统计学（二）随机变量(Random Variables)

本章内容

引言
分布函数和概率分布(Distribution Functions and Probability Functions)
一些重要的离散随机变量(Discrete Random Variables )
一些重要的连续随机变量(Continuous Random Variables)
二维分布(Bivariate Distributions )
边缘分布(Marginal Distributions )
独立随机变量
条件分布(Conditional Distributions )
多维分布(Multivariate Distributions)和独立同步分布(IID)
两个重要的多维分布
随机变量的转换
多个随机变量的转换

关键名词,存在部分词不达意的情况,因此将关键名词整理如下

1. 分布函数:Distribution Functions
2. 概率函数:Probability Functions
3. 离散随机变量:Discrete Random Variables
4. 连续随机变量:Continuous Random Variables
5. 二维分布:Bivariate Distributions
6. 边缘分布:Marginal Distributions
7. 条件分布:Conditional Distributions
8. 多维分布:Multivariate Distributions

9. 累积分布函数:cumulative distribution function

10. 标准化:normalized

11. 概率函数:Probability function

12. 概率质量函数:Probability mass function

13. 概率密度函数:Probability density funciton

14. 连续:continuous

15. 分位函数:quantile function

16. 第一四分位:first quartile

17. 第二四分位:second quartile

18. 第三四分位:third quartile

19. 中位数:median

20. 等概率分布:equal in distribution

21. 点质量分布: Point Mass Distribution

22. 离散均匀分布:Discrete Uniform Distribution

23. 伯努利分布:Bernuolli Distribution

24. 二项分布:Binomial Distribution

25. 几何分布:Geometric Distribution

26. 泊松分布:Possion Distribution

27. 正态分布:Normal Distribution

28. 高斯分布:Gaussian Distribution

29. 标准正态分布:Standard Normal Distribution

30. 指数分布:Exponential Distribution

31. 伽马分布:Gamma Distribution

32. 贝塔分布:Beta Distribution

33. 柯西分布:Cauchy Distribution

34. 边缘分布:Marginal Distributions

35. 边缘质量函数:marginal mass function

36. 边缘密度函数:marginal denstiy function

37. 条件概率质量函数:Conditional Probability mass function

38. 条件概率密度函数:Conditional Probability Density funciton

40. 随机向量:Random Vector

41. 多项分布:Multinomial Distribution

42. 多元正态分布或者多维正态分布:Multivariate Normal

2.1 引言

统计学和数据挖掘关心的是数据,那么我们怎样将样本空间(sample)和事件(events)同数据联系起来呢?这种联系由随机变量(random variables)提供

2.1 随机变量(random variables)的定义

随机变量是一种映射,表示为 $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ ,即对于每一个结果ω,都有一个实数被分配给X(ω).

在概率课程的某些阶段,我们很少再提及样本空间(sapmle space),而是直接使用随机变量(random variables).但你应该牢记,样本空间(sample space)实际是存在,它隐含在随机变量的背后.

2.2 例子

抛硬币十次,令X(ω)是序列ω中正面朝上的个数,例如,ω=HHTHHTHHTT,那么X(ω)=6.

2.3 例子

设 $\Omega =\left \{ (x,y); x^{2} + y^{2} \leqslant 1\right \}$ 是一个单位圆,在Ω中随机取一点(我们将在后面更精确的描述这个想法),通常格式为ω=(x,y).那么随机变量的一些例子有:X(ω) = x,Y(ω) = y,Z(ω) = x+y或者 $W(\omega )=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

给定一个随机变量X和实数的子集A,定义 $X^{-1}(A)=\left \{ \omega \in \Omega : X(\omega) \in A \right \}$ 并令

$\mathbb{P}(X\in A) = \mathbb{P}(X^{-1}(A))=\mathbb{P}(\left \{ \omega \in \Omega; X(\omega) \in A \right \})$

$\mathbb{P}(X=x)=\mathbb{P}(X^{-1}(A))=\mathbb{P}(\left \{\omega \in \Omega;X(\omega)=x\right \})$

注意:X是随机变量,x是随机变量X的具体值

2.4 例子

抛硬币两次,令X为正面朝上的个数,那么P(X=0)=P({TT})=1/4, P(X=1)=P({HT,TH})=1/2 , P(X=2)=P({HH})=1/4,随机变量(random variables)和它的分布(distribution)可以总结如下:

ω	P({ω})	X(ω)
TT	1/4	0
TH	1/4	1
HT	1/4	1
HH	1/4	2

x	P(X=x)
0	1/4
1	1/2
2	1/2

2.2 分布函数(distribution functions)和概率函数(Probability functions)

给定一个随机变量X,我们按照如下的方式,定义其累积分布函数(cumulative distribution function)或分布函数(distribution functions):

2.5 CDF定义

累积分布函数(cumulative distribution function)或者CDF, $F_{x}:\mathbb{R}\rightarrow [0,1]$ 被定义为

$F_{X}(x)=P(X\leqslant x)$

在后面,我们将会看到CDF有效地包含了所有关于随机变量的信息.有时我们用代替 $F_{x}$ .

2.6 例子

扔一枚硬币两次,设X是正面朝上的次数.那么 $\mathbb{P}(X=0)=\frac{1}{4},\mathbb{P}(X=1)=\frac{1}{2},\mathbb{P}(X=2)=\frac{1}{4}$ ,则分布函数为:

$F_X(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & ,x<0\\ \frac{1}{4} & ,0\leqslant x < 1\\ \frac{3}{4} & ,1 \leqslant x < 2\\ 1 & ,x \geqslant 2 \end{matrix}\right.$

则其对应的函数图形如下图

尽管这个例子非常简单,但是也请仔细的研究它,因为CDF的性质可能令人困惑.

注意,这个函数,是右连续,非递减,尽管x只取0,1,2但对所有的实数都有定义.你明白了为什么了吗?

以下的定理表明,CDF完全决定了随机变量(random variables)的分布

2.7 定理

设X有累积分布函数(CDF)F,Y有累积分布函数(CDF)G,如果对于所有的x,满足 ,那么对于所有的A,则有 $\mathbb{P}(X\in A) = \mathbb{P}(Y \in A)$

译者注:上面的定理可以看成CDF决定了概率分布

2.8 定理

F是[0,1]上的映射,当且仅当F满足下面三个条件的时候, F是某个概率P的累积分布函数.

F非递增:x1
F已经标准化(normalized): $\lim_{x\rightarrow -\infty }F(x)=0$ , $\lim_{x\rightarrow \infty }F(x)=1$
F右连续:对于所有x, $F(x)=F(x^{+})$ ,其中 $F(x^+)=\lim_{\begin{matrix} y\to x\\ y\geq x \end{matrix}}F(y)$

证明:

假定F是CDF,让我们证明第三点成立.

设x是一个实数;

y1,y1,...是一个实数序列,满足y1>y2>...并且 $\lim_iy_i=x$ .

那么, $A_i=(-\infty,y_i],A=(-\infty,x]$

则得, $A= \bigcap_{i=1}^{\infty}Ai$ , $A1\supset A2\supset A3 ...$

所以, $\lim_iP(A_i)=P(\bigcap_iA_i)$

所以, $F(x)=P(A)=P(\bigcap_iA_i)=\lim_iP(A_i)=\lim_iF(y_i)=F(x^+)$

证毕

第一点和第二点类似.

证明另外一个方向------即,倘若F满足第一二三点,证明F是某个概率P的CDF-----需要使用分析领域更深层次的工具.

2.9 概率函数(Probability function)或概率质量函数(Probability mass function)定义

如果随机变量X取值有限,且离散.那么X的概率函数(probability function)或者概率质量函数(probability mass function)被定义为:

因此,对于所有的 $x\in R$ ,都有 $f_X(x) \geq 0$ ,且 $\sum_if(x_i)=1$ .有时我们直接用代替.

CDF和的关系为:

$F_X(x)= P(X\leq x) = \sum_{x_i\leq x}f_X(xi)$

2.10 例子

2.6例子的概率函数(probability function)为

$f_X(x)=\left\{\begin{matrix} 1/4 & x=0 \\ 1/2 & x=1\\ 1/4& x=2 \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

见下图

2.11 概率密度函数(probability density function)定义

对于一个连续(continuous)的随机变量X,如果对于所有的x,存在一个函数满足 $f_X(x)\geq 0$ , $\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)=1$ ,且满足, $a \leq b,\mathbb{P}(a < x <b)=\int_a^bf_X(x)dx$ ,那么就称为概率密度函数(probability density function)PDF.

因此可以得 $F_X(x) = \int_{-\infty}^xf_X(x)dx$ 和 $f_X(x)={F}'_X(x)$ ,其中在所有x点处,都是可导的.

有时,我们用 $\int f(x)dx$ 或者 $\int f$ 来表示 $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$

2.12 例子

设随机变量X的概率密度函数PDF,如下

$f_X(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & for 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

显然, $f_X(x)\geq 0$ 且 $\int f_X(x)dx=1$ .那么带有这种PDF的随机变量被称为 Uniform(0,1) 分布.Uniform(0,1)分布的概念表示,在[0,1]区间中随机选择一个点.

那么CDF,就为:

$F_X(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & x <0 \\ x & 0 \leq x \leq 1\\ 1 & x > 1 \end{matrix}\right.$

如下图:

2.13 例子

假如随机变量X,有下面的PDF:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & for x < 0\\ \frac{1}{(1+x)^2} & otherwise \end{matrix}\right.$

因为 $\int f(x)dx=1$ ,这是一个满足定义的PDF

警告;连续随机变量可能带来困惑.

首先应注意,如果X是连续的,那么对于任意x,都有 $\mathbb{P}(X=x)=0$ 不要尝试将当做 $\mathbb{P}(X=x)$ ,这个只对离散随机变量有效. 连续随机变量对应的概率是通过PDF的积分得到.

其次还要注意,PDF是可以大于1的(这个跟概率质量函数(probability mass function)不同),例如:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 5 & x \in [0,1/5]\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ 可得, $f(x) \geq 0$ 且 $\int f(x)dx =1$ ,因此其是一个满足定义的PDF,但其在某些区间可得f(x)=5.事实上,PDF,可以是无界的,例如: $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} & 0 < x < 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ ,可得 $\int f(x)dx =1$ ,因此也是一个符合定义的PDF,但是它是无解函数.

2.14 例子

设 $f(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & x < 0 \\ \frac{1}{(1+x)} & otherwise \end{matrix}\right.$ ,这个不是一个PDF,因为:

$\int f(x)dx=\int_0^\infty dx/(1+x)=\int_1^\infty du/u = log(\infty) = \infty$

2.15 引理

设F是随机变量X的CDF,那么:

$\mathbb{P}(X=x)=F(x)-F(x^-),where F(x^-)=\lim_{y \to x}F(y)$
$\mathbb{P}(x < X \leq y) =F(y) -F(x)$
$\mathbb{P}(X > x) = 1- F(x)$
如果X是连续的,那么 $F(b)-F(a)= \mathbb{P}(a < X < b) = \mathbb{P}(a \leq X < b)=\mathbb{P}(a < X \leq b)=\mathbb{p}(a \leq X \leq b)$

这对于定义CDF的逆函数(或者分位函数(quantile function))是有用的.

2.16 CDF的逆函数或者分位函数的定义

设X是一个有累积分布函数F的随机变量.那么CDF的逆函数或者分位函数(quantile function)被定义为:

$F^{-1}(q)=inf\left \{ x:F(x) > q \right \}$ ,其中 $q \in [0,1]$ ,

如果F是严格递增且连续,那么 $F^{-1}(q)$ 有唯一的实数x,使得

我们将 $F^{-1}(1/4)$ 称为:第一四分位(first quartile) ;将 $F^{-1}(1/2)$ 称为:中位数(median)或者第二四分位(second quartile);将 $F^{-1}(3/4)$ 称为:第三四分位(third quartile)

两个随机变量X和Y,它们是等概率分布(equal in distribution),则可以写成 $X \overset{\text{d}}{=} Y$ .如果对于所有的x,都有,这并不意味着X和Y是相等的.它只意味着X和Y有相同的概率状态.例如,设 $\mathbb{P}(X=1)=\mathbb{P}(X=-1)=1/2$ ,令Y=-X,则得 $\mathbb{P}(Y=1)=\mathbb{P}(Y=-1)=1/2$ ,所以 $X \overset{d}{=} Y$ ,但X和Y是不相等的.事实上 $\mathbb{P}(X=Y)=0$

2.3 一些重要的离散随机变量

关于符号的警告: $X \sim F$ 表示随机变量X的概率分布函数为F,这中传统的写法,并不合适,因为这个~符号也用来表示近似.符号 $X \sim F$ 太根深蒂固,以至于我们不得不沿用它.当我们看到这个符号的时候,应该将它当做:随机变量X满足分布F,而不是当做,X近似于F

Point Mass Distribution(点质量分布):如果概率满足下面的条件,那么随机变量X在a处有一个 Point Mass Distribution,写作 $X \sim \delta_a$ ,:

$\mathbb{P}(X=a)=1$ ,

那么 $F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & x < a\\ 1 & x \geq a \end{matrix}\right.$ ,概率质量函数(probability mass function)则为

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & x = a\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

Discrete Uniform Distribution(离散均匀分布):设k>1是一个整数,假定X有如下的概率质量函数(probability mass function):

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 1/k & x=1,2,...k\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

那么我们就说X有一个在{1,...k}上的均匀分布

Bernuolli Distribution(伯努利分布):令X代表一次硬币的抛掷,那么P(X=1)=p,P(X=0)=1-p,其中p在[0,1]之间,我们就说X具有伯努利分布(Bernoulli Distributtion),写作 $X\sim Bernoulli(p)$ .则其概率函数 $f(x)=P^x(1-p)^{1-x},x \in \left \{ 0,1 \right \}$

Binomial Distribution(二项分布):假定硬币正面朝上的概率为p, $0 \leq p \leq 1$ .抛硬币n次,令X为正面朝上的次数,假设每次抛掷是独立的,令 $f(x)=\mathbb{P}(X=x)$ 是其质量函数(mass function),则其展开如下:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} & x=0,...n\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

有这种质量函数的随机变量,我们称之为二项随机变量,写作 $X\sim Binomial(n,p)$ .如果 $X_1\sim Binomial(n_1,p), X_2 \sim Binomial(n_2,p)$ ,那么 $X_1 + X_2 \sim Binomial(x_1+x_2,p)$

警告:让我们借此机会来防止一些易混淆点. X表示随机变量,x表示随机变量的具体取值;n和p是参数,即,固定的实数.参数p通常未知,必须从数据中得到,这也是统计推断的内容.在大多数统计模型中,同时存在随机变量和参数,不要将他们混淆了.

Geometirc Distribution(几何分布):如果X有如下的概率函数,则随机变量X服从参数为p的几何分布(geometric distribution),写作 $X \sim Geom(p)$ :

$\mathbb{P}(X=k)=p(1-p)^{k-1},k \geq 1$

我们可得:

$\sum_{k=1}^{\infty}P(X=k)= p\sum_{k=1}^{\infty}(1-p)^k=\frac{p}{1-(1-p)}=1$

将X视为抛硬币时,第一次出现正面所需的次数.

Possion Distribution(泊松分布):如果概率质量函数如下,则随机变量X服从参数为λ的泊松分布.写作: $X\sim Poisson( \lambda )$ :

$f(x)=e^{- \lambda } \frac{\lambda ^ x}{x!}, x \geq 0$

注意:

$\sum_{x=0}^{\infty}f(x)=e^{-\lambda}\sum_{x=0}^{\infty}\frac{\lambda^x}{x!}=e^{-\lambda}e^{\lambda}=1$

泊松分布经常用来作为稀有事件的模型,如辐射衰减,交通事故.如果 $X_1 \sim Poisson(\lambda_1),X_2 \sim Poisson(\lambda_2)$ 那么 $X_1+X_2 \sim Poisson(\lambda_1+\lambda_2)$

警告:我们将随机变量定义为:一种从样本空间Ω到实数R上的一种映射,但在上面的分布中我们没有提及样本空间.正如我们早期提到过的,样本空间经常"消失",但它依然存在于背后.让我们来显式的构建一个伯努利随机变量,令Ω=[0,1],并定义P满足P([a,b])=b-a,其中 0 <= a <= b <= 1.取p为[0,1]上的定值,定义:

$X(\omega )=\left\{\begin{matrix} 1 & \omega \leq p\\ 0 & \omega > p \end{matrix}\right.$

那么,P(X=1)=P(ω<=p)=P([0,p])=p且P(X=0)=1-p.因此X服从伯努利分布,写作 $X\sim Bernoulli(p)$ .我们不会为上面所有的分布都进行这样的操作.事实上,我们将随机变量视为随机数,但从形式上看,它是一种定义在样本空间中的映射.

2.4 一些重要的连续随机变量

Uniform Distribution(均匀分布):如果X有如下的概率密度函数,则X满足均匀分布,写作 $X \sim Uniform (a,b)$ :

$f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a} & x \in [a,b]\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

$F(x)=\left\{\begin{matrix} 0 & x < a\\ \frac{x-a}{b-a} & x \in [a,b]\\ 1 & x>b \end{matrix}\right.$

Normal(Gaussian) Distribution(正态分布,或者高斯分布):如果概率密度函数满足如下,则X满足参数μ和σ的正态分布(Normal Distribution)

$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} exp\left \{ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu )^2 \right \}$

此处,μ 是实数R, σ > 0.

参数μ是分布的中心(或均值),σ是分布的离散程度(或标准差).(均值和标准差将会在下一章进行定义).正态分布在概率论和统计学中扮演了重要的角色.自然界中的许多现象也近似于正态分布.在后面我们会学习中心极限定理(Center Limit Theorem),该定理表明,随机变量之和的分布可以近似于正态分布.

如果μ=0,σ=1,则称之为标准正态分布(standard Normal distribution).传统规定,标准正太随机变量用Z表示,而其PDF和CDF用 $\phi (z)$ 和 $\Phi (z)$ 表示.PDF图像如下:

下面给出一些有用的结论:

如果 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ,那么 $Z=(X-\mu)/\sigma \sim N(0,1)$
如果 $Z \sim N(0,1)$ ,那么 $X=\mu+\sigma Z \sim N(\mu,\sigma ^2)$
如果 $X_i \sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$ ,i=1,...n是独立的,那么 $\overset{n}{\underset{i=1}\sum}X_i \sim N\left ( \overset{n}{\underset{i=1}\sum}\mu_i,\overset{n}{\underset{i=1}\sum}\sigma_i^2 \right )$

从1可以推到出:

$P(a < x < b) =P(\frac{a-\mu}{\sigma} < Z < \frac{b-\mu}{\sigma}) = \Phi (\frac{b-\mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})$

因此,只要我们可以计算标准正态的CDF,就可以计算任何概率.所有的统计计算包,都能计算 $\Phi(z)$ 和 $\Phi^{-1}(q)$ .大多数的统计学教材,包括本书,都有一个 $\Phi(z)$ 值表

2.17 例子

假定 $X \sim N(3,5)$ ,求 $\mathbb{P}(X>1)$ .解决思路是:

现在求 $q=\Phi^{-1}(0.2)$ ,这个意味着,我们需要求出q,满足P(X

$0.2=P(X < q)\\=P(Z<\frac{q-\mu}{\sigma}) \\=\Phi(\frac{q-\mu}{\sigma})$

从标准表中, $\Phi(-0.8416)=0.2$ .因此, $-0.8416=\frac{1-\mu}{\sigma}=\frac{q-3}{\sqrt{5}}$ 得q=1.1181

Exponential Distribution(指数分布):如果概率密度函数满足如下,则X满足参数为β的指数分布(Exponential Distribution),写作: $X \sim Exp(\beta)$

$f(x)=\frac{1}{\beta}e^{-\frac{x}{\beta}},x>0,\beta > 0$

指数分布被用作建模电子元器件的生命周期,以及稀有事件之间的等待时间

Gamma Distribution(伽马分布):对于α>0,伽马函数(gamma function)定义为: $\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty y^{\alpha-1} e^y dy$ .如果概率密度函数满足如下,则称X满足参数为α和β的伽马分布(gamma distribution),写作: $X\sim Gamma(\alpha,\beta)$

$f(x)=\frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}x^{\alpha - 1}e^{-x/\beta},\alpha > 0,\beta > 0$

指数分布(Exponential Distribution)就是Gamma(1,β)分布.如果 $X_i\sim Gamma(\alpha_i,\beta)$ 是独立分布的,那么满足 $\sum_{i=1}^nX_i \sim Gamma(\sum_{i=1}^n \alpha_i,\beta)$

Beta Distribution(贝塔分布):如果f(x)满足如下条件,则X满足参数为α>0,β>0的贝塔分布(beta distribution),写作: $X \sim Beta(\alpha,\beta)$ :

$f(x)=\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1},0 < x <1$

t and Cauchy Distribution(t和柯西分布):如果f(x)满足如下条件,则称X满足自由度为v的t分布,写作: $X \sim t_v$ :

$f(x)=\frac{\Gamma(\frac{v+1}{2})}{\Gamma(\frac{v}{2})}\frac{1}{{(1+\frac{x^2}{v})}^{(v+1)/2}}$

t分布类似于正态分布,但其有更厚的尾部.事实上,正态分布对应于自由度v=∞的t分布 .而柯西分布则对应于v=1的t分布.概率密度函数为:

$f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}$

为了弄明白这确实是一个密度函数,对齐其积分得:

$\int_{-\infty}^\infty f(x) dx\\= \frac{1}{\pi}\int \frac{dx}{1+x^2} \\= \frac{1}{\pi}\int \frac{dtan^{-1}x}{dx}\\=\frac{1}{\pi}[tan^{-1}(\infty)-tan^{-1}(-\infty)]\\=\frac{1}{\pi}[\frac{\pi}{2}-(-\frac{\pi}{2})]=1$

$\chi ^2$ distribution(卡方分布):如果f(x)满足如下,则成X为自由度p个自由度的卡方分布(χ^2 distribution),写作: $X \sim \chi_p^2$

$f(x)=\frac{1}{\Gamma(p/2)2^{p/2}}x^{(p/2)-1}e^{-x/2},x>0$

如果Z1,Z2,...Zp是独立的标准正态随机变量,那么有 $\sum_{i=1}^p Z_i^2 \sim \chi_p^2$

2.5 二维分布(Bivariate Distributions)

给定一组离散的随机变量X和Y,定义联合质量函数(joint mass function)为: $f(x,y)=\mathbb{P}(X=x \ and\ Y = y)$ ,从现在开始,将 $\mathbb{P}(X=x \ and \ Y=y)$ 写成 $\mathbb{P}=(X=x,Y=y)$ .当需要更加复杂的式子时,将 $f_{x,y}$ 直接写成

2.18 例子

此处有两个随机变量X和Y的二维分布,他们的取值为0或1

	Y=0	Y=1
X=0	1/9	2/9	1/3
X=1	2/9	4/9	2/3
	1/3	2/3

因此,f(1,1)=P(X=1,Y=1)=4/9

2.19 二维随机变量的PDF定义

在连续情况下,如果满足下面三个条件,则称函数f(x,y)是变量(X,Y)的PDF

对于所有的,有 $f(x,y)\geq 0$
$\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y)dx dy = 1$ 并且
对于任意集合 $A \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}$ ,有 $\mathbb{P}((X,Y) \subset A)=\int\int_A f(x,y)dxdy$

在离散和连续的情况下,我们定义联合CDF为 $F_{X,Y}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)$

2.20 例子

假设(X,Y)在单位正方形内是均匀的,那么有:

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 1 & 0 \leq x \leq 1, 0\leq y \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

求P(X<1/2,Y<1/2).

事件A={X<1/2,Y<1/2}对应于单位正方形的一个子集.在这种情况下,对f在这个子集上求积分.求出A的面积为1/4.所以P(X<1/2,Y<1/2)=1/4

2.21 例子

设(X,Y)有下面的概率密度函数:

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} x+y & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1, \\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

那么可得:

此时,可证f(x,y)为PDF

2.22 例子

如果分布被定义在一个非矩形区域,那么计算将会有点复杂.此处有一个例子,引用至DeGroot and Schervish(2002).假设(X,Y)有下面的密度函数:

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} cx^2y & x^2 \leq y \leq 1 \\ 0& otherwise \end{matrix}\right.$

请注意, $-1 \leq x \leq 1$ .现在让我们来求c的值.

这里的关键是要注意积分得范围.我们选择一个变量，比如 x，然后让它在其取值范围内变化。然后，对于每个固定的 x 值，我们让 y 在其范围内变化，即 x^2 ≤ y ≤ 1。如果你查看下图,则可能会对你有所帮助

因此因此c=21/4

现在让我们来计算P(X>=Y),这个对应的集合为:A={(x,y);0<=x<=1,x^2<=y<=x}因此

2.6 边缘分布(Marginal Distributions)

2.23 定义

如果(X,Y)满足联合分布,且其质量函数为 $f_{x,y}$ .那么对于x的边缘质量函数(marginal mass function)被定义为:

$f_X(x)=P(X=x)=\underset{y}\sum P(X=x,Y=y)=\underset{y}\sum f(x,y)$

对于y的边缘质量函数(marginal mass function)被定义为:

$f_Y(y)=P(Y=y)=\underset{x}\sum P(X=x,Y=y)=\underset{x}\sum f(x,y)$

2.24 例子

假如 $f_{x,y}$ 由下表给出.对于X的边缘分布,则是行的总和,对于Y的边缘分布则是列的总和

	Y=0	Y=1
X=0	1/10	2/10	3/10
X=1	3/10	4/10	7/10
	4/10	6/10

可得 ,

2.25 定义

对于连续随机变量,边缘密度函数(marginal density function)被定义为:

$f_X(x)=\int f(x,y)dy , f_Y(y)=\int f(x,y)dx$

则对应的边缘分布函数,由表示

2.26 例子

假定 $f_{X,Y}(x,y)=e^{-(x+y)}\ \ \ x,y\geq0$ ,那么 $f_X(x)=e^{-x}\int_0^\infty e^{-y}dy = e^{-x}$

2.27 例子

假如: $f(x,y)=\left\{\begin{matrix} x+y & 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ ,那么可得

$f_Y(y)=\int_0^1(x+y)dx=\int_0^1 xdx+\int_0^1ydx=\frac{1}{2}+y$

2.28 例子

令(X,Y)有如下的密度函数

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{21}{4}x^2y & x^2 \leq y \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

因此,可得

$f_X(x)=\int f(x,y)dy = \frac{21}{4}x^2\int_{x^2}^1ydy=\frac{21}{8}x^2(1-x^4)$

2.7 独立随机变量 (Independent Random Variable)

2.29 定义

有两个随机变量X和Y,若对于所有A和B,有 $\mathbb{P}(X \in A,Y \in B)=\mathbb{P}(X \in A)\mathbb{P}(Y \in B)$ ,那么我们就说X和Y独立.写作 $X \coprod Y$ .反之,则称X和Y相关,写作,如下(贴图)

原则上,要检查X和Y是否独立,我们需要根据定义中的式子来检查所有的A,B子集.但幸运的是,我们有下面的结论可以使用,尽管这些结论是用连续的随机变量表述,但它也适用于离散随机变量

2.30 定理(Theorem)

假设X和Y有联合PDF $f_{x,y}$ ,当且仅当 $f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ 对于所有x和y成立时,那么 $X \coprod Y$

2.31 例子

设X,Y有下面的分布

	Y=0	Y=1
X=0	1/4	1/4	1/2
X=1	1/4	1/4	1/2
	1/2	1/2	1

那么,且.X和Y是独立的,因为,,,.

假如X,Y有下面的分布

	Y=0	Y=1
X=0	1/2	0	1/2
X=1	0	1/2	1/2
	1/2	1/2	1

那么X和Y不是独立的,因为但

2.32 例子

假定X和Y是独立的,并且有相同的密度函数,如下:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} 2x & 0 \leq x \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ .

让我们来求 $\mathbb{P}(X+Y \leq 1)$ .使用独立性,那么联合密度函数就为:

$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)=\left\{\begin{matrix} 4xy & 0 \leq x \leq 1, 0\leq y\leq 1\\ 0 & ,otherwise \end{matrix}\right.$

得:

下面的结论有助于验证独立

2.33 定理

假定X和Y的范围是一个矩形(可能是无界的),如果对于函数g和h(不一定是概率密度函数),满足,那么X和Y是独立的.

2.34 例子

令X和Y有下面的密度函数:

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} 2e^{-(x+2y)} & ,x> 0,y>0 \\ 0 & ,otherwise \end{matrix}\right.$

X和Y的范围是一个矩形 $(0,\infty)\times (0 ,\infty)$ ,还可以将f(x,y)写成f(x,y)=g(x)h(y).其中, $g(x)=2e^{-x}$ , $h(y)=e^{-2y}$ .因此 $X \coprod Y$

2.8 条件分布(Conditional Distribution)

如果X和Y是离散的,那么我们可以计算在Y=y情况下的X的条件分布.具体来说 $\mathbb{P}(X=x|Y=y)=P(X=x,Y=y)/\mathbb{P}(Y=y)$ ,这使我们定义条件概率质量函数如下

2.35 条件概率质量函数(conditional probability mass function)定义

如果,条件概率质量函数定义如下:

$f_{X|Y}(x|y)=P(X=x|Y=y)=\frac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)}=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$

对于连续分布,我们使用相同的定义.解释的不同则为:在离散情况下条件概率质量函数,就是条件概率 $f_{X|Y}(x|y)=P(X=x|Y=y)$ .而对于连续情况下,就必须进行积分求得概率.

2.36 条件概率密度函数(conditional probability density function)定义

对于连续的随机变量,条件概率密度函数(conditional probability density function)定义如下:假如,

$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$

那么,概率则为:

$P(X\in A | Y = y) = \int_A f_{X|Y}(x|y)dx$

2.37 例子

假设X和Y,在单位正方形上有一个联合均匀分布(joint uniform distribution).因此在 $0 \leq x \leq 1$ 下, $f_{X|Y}(x|y)=1$ .在其他地方则为0.给定Y=y的情况下,X就是Uniform(0,1)分布.我们可以写作: $X|Y=y \sim Uniform(0,1)$

从条件密度的定义可得: $f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x|y)f_Y(y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x)$ .这在某些情况下非常有用,如2.39 例子

2.38 例子

设: $f(x,y)=\left\{\begin{matrix} x+y & 0 \leq x \leq 1 , 0 \leq y \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ .求 $\mathbb{P}(X<1/4|Y=1/3)$

在2.27例子中,可得.因此:

$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}=\frac{x+y}{y+\frac{1}{2}}$

所以,

$\mathbb{P}(X<\frac{1}{4}|Y=\frac{1}{3})\\\\=\int_0^{1/4}f_{X|Y}(x|\frac{1}{3})dx\\\\=\int_0^{1/4}\frac{x+\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}dx\\\\=\frac{\frac{1}{32}+\frac{1}{12}}{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}\\\\=\frac{11}{80}$

2.39 例子

假如X服从 $X \sim Uniform(0,1)$ .在获得X值之后,产生的Y服从 $Y|X=x \sim Uniform(x,1)$ .那么Y的边缘分布函数是什么?

首先, $f_X(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & ,0\leq x \leq 1\\ 0 & ,otherwise \end{matrix}\right.$ ,且 $f_{Y|X}(y|x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{1-x} & , 0 < x< y< 1\\ 0 & ,otherwise \end{matrix}\right.$ 因此得

$f_{X,Y}(x,y)=f_{Y|X}(y|x)f_X(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{1-x} & ,0<x<y<1\\ o & ,otherwise \end{matrix}\right.$

则Y的边缘密度函数为:

$f_Y(y)=\int_0^y f_{X,Y}(x,y)dx=\int_0^y \frac{dx}{1-x}dx = - \int_1^{1-y}\frac{du}{u}=-log(1-y)$ ,其中

2.40 例子

思考例子2.28中的密度函数,求 $f_{Y|X}(y|x)$ .

当X=x,y必须满足 $x^2 \leq y \leq 1$ .在前面,求出了.因此对于 $x^2 \leq y \leq 1$ ,则有:

$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X{x}}=\frac{(21/4)x^2y}{(21/8)x^2(1-x^4)}=\frac{2y}{1-x^4}$

现在求 $\mathbb{P}(Y\geq 3/4 |X = 1/2)=\int_{3/4}^1f(y|1/2)dy=\int_{3/4}^1\frac{32y}{5}dy=\frac{7}{15}$

2.9 多维分布和独立同步分布(Multivariate Distributions And IID)

令X=(X1,X2...Xn),这里的X1,X2..Xn都是随机变量(Random Variables),称X为随机向量(Random Vector).令是其PDF.可以定义他们的边缘分布,条件分布,其大多于二维的情况类似.

如果对于每一个A1,A2,...An,有 $\mathbb{P}(X_1 \in A_1,X_2 \in A2....X_n \in A_n)= \overset{n}{\underset{i=1}{\prod}}\mathbb{P}(X_i \in A_i)$ ,则X1,X2...Xn是独立的.通过检查 $f(x_1,x_2,...x_n)=\overset{n}{\underset{i=1}{\prod }}f_{X_i}(x_i)$ 即可.

2.41 IID定义

如果X1,X2,....Xn相互独立的,且有相同的累积分布函数(CDF)F,我们就说X1,X2,...Xn是独立同步分布(independent and identically distributed)写作: $X_1,...X_n \sim F$ .

如果F的密度函数为f,也可以写作 $X_1,..X_n \sim f$ .我们也称X1,...Xn是来自于F的n个随机样本(random sample of size n from F)

统计学理论和实践的大部分内容都以独立同分布（IID）的观测数据为基础，当我们讨论统计学时，我们将详细研究这种情况。

2.10 两个重要的多维分布

Multinomial (多项分布):二项分布的多维版本就称为多维分布.考虑从装有k个不同颜色的盒子中,抽取1个小球.这些小球上标有:"color1,color2....colork".令p=(p1,...pk),其中pj>=0,且 $\sum_{j=1}^kp_j=1$ ,设pj是抽中小球颜色为j的概率.抽n次(有放回的独立抽样)且令X=(X1,X2..Xk)其中Xj表示颜色j出现的次数.因此 $n=\sum_{j=1}^kX_j$ .此时我们就说X满足Multinomial(n,p)分布,写作: $X \sim Multnomial(n,p)$ .对应的概率函数为:

$f(x)=\binom{n}{x_1...x_k}p_1^{x_1}...p_k^{x_k}$

其中, $\binom{n}{x_1...x_k}=\frac{n!}{x_1!...x_k!}$

2.42 引理

假如 $X \sim Multinomial(n,p)$ ,其中X=(X1,X2..Xk),p=(p1,p2...pk).Xj的边缘分布就是Binomial(n,pj)分布

Multivariate Normal(多维正态分布或者多元正态分布):一维正态分布有两个参数,μ和σ.在多维的版本中,μ是一个向量,σ则是一个矩阵Σ.

现在令

$Z=\begin{pmatrix} Z_1\\ \vdots \\ Z_k \end{pmatrix}$

其中, $Z_1...Z_k \sim N(0,1)$ 且相互独立.则Z的密度函数为:

$f(z)=\overset{k}{\underset{i}{\prod }}f(z_i)=\frac{1}{(2\pi)^{k/2}}exp\left \{ -\frac{1}{2} \overset{k}{\underset{i}{\sum}} z_j^2\right \}\\\\=\frac{1}{(2\pi)^{k/2}}exp\left \{ -\frac{1}{2}z^Tz \right \}$

我们就说Z符合标准的多元正态分布,写作: $Z\sim N(0,I)$ ,其中,0表示有k个0元素的向量. 大写的I表示 $k\times k$ 的单位矩阵.

更一般的,如果向量X有下面的密度函数,则X是一个多维的正态分布向量,记作: $X \sim N(\mu,\Sigma)$

$f(x;\mu,\Sigma)=\frac{1}{(2\pi)^{k/2}|(\Sigma)|^{1/2}}exp\left \{ -\frac{1}{2} (x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu)\right \}$

其中 $|\Sigma|$ 表示Σ的行列式.μ是一个长度为k的向量.Σ是一个 $k\times k$ 对称的正定矩阵. 如果μ=0,Σ=I,则变成了标准多维正态分布

因为Σ是对称,正定矩阵.因此存在一个矩阵 $\Sigma^{1/2}$ ----称为Σ的平方根----满足下面的性质:

$\Sigma^{1/2}$ 也是对称的
$\Sigma=\Sigma^{1/2}\Sigma^{1/2}$
$\Sigma^{1/2}\Sigma^{-1/2}=\Sigma^{-1/2}\Sigma^{1/2}=I$ ,其中 $\Sigma^{-1/2}=(\Sigma^{1/2})^{-1}$

2.43 定理

如果 $Z \sim N(0,I)$ 并且 $X=\mu+\Sigma^{1/2}Z$ ,那么 $X\sim N(\mu,\Sigma)$ 反之,如果 $X \sim N(\mu,\Sigma)$ 那么 $\Sigma^{-1/2}(X-\mu) \sim N(0,I)$

假定将随机正态向量X分成X=(Xa,Xb)那么可以将μ写成μ=(μa,μb),Σ写成 $\Sigma=\begin{pmatrix} \Sigma_{aa} & \Sigma_{ab}\\ \Sigma_{ba} & \Sigma_{bb} \end{pmatrix}$

2.44 定理

设 $X \sim N(\mu,\Sigma)$ ,那么

Xa的边缘分布满足: $X_a \sim N(\mu_a,\Sigma_{aa})$
Xa=xa条件下的Xb的条件分布为: $X_b|X_a=x_a \sim N(\mu_b+\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1}(x_a-\mu_a),\Sigma_{bb}-\Sigma_{ba}\Sigma_{aa}^{-1}\Sigma_{ab})$
如果a是一个向量,那么 $a^TX \sim N(a^T\mu,a^T\Sigma a)$
$V=(X-\mu)^T\Sigma^{-1}(X-\mu) \sim \chi _k^2$

2.11 随机变量的转换

假如X是CDF为,PDF为的随机变量.令是关于X的函数.例如,或者.我们称为X的转换.那么我们怎么计算Y的PDF和CDF呢?在离散情况下,答案非常容易.Y的质量函数如下:

$f_Y(y)=\mathbb{P}(Y=y)=\mathbb{P}(r(X)=y)=\mathbb{P}(\left \{ x;r(x)=y \right \})\\\\=\mathbb{P}(X \in r^{-1}(y))$

2.45 例子

假如P(X=-1)=P(X=1)=1/4 ,P(X=0)=1/2.令Y=X^2.那么P(Y=0)=P(X=0)=1/2,P(Y=1)=P(X=1)+P(X=-1)=1/2.如下:

x
-1	1/4
0	1/2
1	1/4

y
0	1/2
1	1/2

Y的取值比X的取值少,这是因为这种转换不是一对一的.

而对于连续情况就比较复杂了,这儿有下面三个步骤去求

对于每一个y,找到集合 $A_y=\left \{ x;r(x) \leq y \right \}$
再求出CDF:

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(r(X) \leq y)=P(\left \{ x;r(x) \leq y \right \})\\\\=\int_{A_y}f_X(x)dx$

3. PDF就为CDF的导数: $f_Y(y)={F_Y}'(y)$

2.46 例子

令 $f_X(x)=e^{-x}$ ,x>0.因此 $F_X(x)=\int_0^x f_X(s)ds= 1- e^{-1}$ .设.那么 $A_y=\left \{ x:x \leq e^y \right \}$ 那么

$F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(logX \leq y)=P(X \leq e^y)=F_x(e^y)=1-e^{-{e^y}}$

因此 $f_Y(y)=e^ye^{-e^y},y \in \mathbb{R}$

2.47 例子

设 $X \sim Uniform(-1,3)$ ,求的PDF.X的密度函数为:

$f_X(x)=\left\{\begin{matrix} 1/4 & , -1 < x< 3\\ 0 & ,otherwise \end{matrix}\right.$

Y仅可取(0,9)之间的值,考虑两种情况:第一种, 0

对于第一种情况, $A_y=[-\sqrt{y},\sqrt{y}]$ . $F_Y(y)=\int_{A_y}f_X(x)dx=(1/2)\sqrt{y}$

对于第二种情况, $A_y=[-1,\sqrt{y}]$ , $F_Y(y)=\int_{A_y}f_X(x)dx=(1/4)(\sqrt{y}+1)$

对F求导得:

$f_Y(y)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{4\sqrt{y}} &, 0 < y< 1\\ \frac{1}{8\sqrt{y}} & , 1<y<9\\ 0 & ,otherwise \end{matrix}\right.$

当r是严格的单调递增,或者单调递减,那么r有其反函数, $s=r^{-1}$ ,在这种情况密度函数可以表示为:

$f_Y(y)=f_X(s(y))|\frac{ds(y)}{dy}|$

2.12 多个随机变量的转换

在某些情况下,我们对多个随机变量的转换感兴趣.例如,如果X和Y是给定的随机变量.我们可能像知道X/Y,X+Y,max{X,Y}的分布.令Z=r(X,Y)为我们感兴趣的函数.那么求的步骤和前面的类似:

对于每一个z,找到集合 $A_z=\left \{ (x,y) :r(x,y) \leq z\right \}$
求出CDF:

$F_Z(z)=P(Z \leq z)=P(r(X,Y) \leq z)=P(\left \{ (x,y):r(x,y) \leq z \right \})\\\\=\int\int_{A_z}f_{X,Y}(x,y)dxdy$

3. 然后对其求导; $f_Z(z)={F_Z}'(z)$

2.48 例子

设 $X_1,X_1 \sim Unifrom(0,1)$ 且独立.求的密度函数

(X1,X2)的联合密度函数为:

$f(x_1,x_2)=\left\{\begin{matrix} 1 &\ 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

令,得:

$F_Y(y)=P(Y \leq y)=P(r(X_1,X_2) \leq y)=P(\left \{ (x_1,x_2);r(x_1,x_2) \leq y \right \}) \\\\=\int\int_{A_y}f(x_1,x_2)dx_1dx_2$

现在来到了困难的部分:求出.

首先假设 $0 < y \leq 1$ ,那么就是(0,0),(y,0),(0,y)围成的三角形.如下图

在此种情况下, $\int\int_{A_y}f(x_1,x_2)dx_1dx_2$ 是三角形的面积为

再假设,那么就是除了(1, y - 1), (1, 1), (y - 1,1)围成三角形以外的所有区域.这部分面积为.因此

$F_Y(y)=\left\{\begin{matrix} 0 & ,y <0\\ \frac{y^2}{2} & , 0 \leq y < 1\\ 1- \frac{(2-y)^2}{2} & ,1 \leq y < 2\\ 1 & ,y \geq 2 \end{matrix}\right.$

对其求导,得PDF

$f_Y(y)=\left\{\begin{matrix} y &,0 \leq y \leq 1 \\ 2-y & ,1 \leq y \leq 2\\ 0 & ,otherwise \end{matrix}\right.$

本章完

未翻译:附录,课后作业

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今天在刷力扣的时候，有道题卡住了，没办法去看题解，发现题解是将其二维数组排序了，我才猛然发现我还不了解二位数组排序的知识。所以来记录一下。答案中的代码是这样的，假设需要排序的数组intervals：int[][]intervals={{2,3},{2,9},{4,5},{3,7},{6,7},{8,9},{1,10}};Arrays.sort(intervals,newComparator(){@
长沙旅游新打卡路线之湘江双层观光巴士？WebGIS带你一睹为快夜郎king leaflet TrackPlayer追踪 leaflet动态轨迹 Leaflet动态轨迹模拟
目录前言一、观光巴士路线及沿途风景1、互联网上的观光巴士信息2、沿途商圈、景点3、途径公交车站二、Leaflet.TrackPlayer简介1、Leaflet.TrackPlayer是什么？2、Leaflet.TrackPlayer方法和参数三、集成Leaflet.TrackPlayer到观光路线1、代码实现过程2、动态控制3、成果展示四、总结前言今天是大年初一，在蛇年的第一天里，给各位朋友拜个年
Apache Flink流处理框架 weixin_44594317 apache flink 大数据
ApacheFlink是一个分布式流处理框架和数据处理引擎，专注于以低延迟和高吞吐量处理无界和有界的数据流。它可以同时处理流式数据和批处理数据，并且提供强大的容错机制和状态管理功能。Flink常用于实时分析、复杂事件处理（CEP）、机器学习和批量数据处理等场景。1.Flink的核心概念在理解Flink的工作原理之前，先要了解它的一些核心概念：流处理(StreamProcessing)：处理数据流中
AI编译器之——为什么大模型需要Relax？ FF-Studio 人工智能深度学习自然语言处理机器学习语言模型
放在最前：Relax的关键创新深度学习模型（比如ChatGPT这种大模型）在运行时经常遇到“输入尺寸不固定”的情况。比如你问它一个问题，这次输入是10个字，下次可能是100个字。传统编译器处理这种“变来变去”的尺寸很笨——要么只能按固定尺寸优化（导致变尺寸时性能暴跌），要么每次都要重新编译（慢到没法用）。Relax的创新：符号形状：让编译器学会“代数”Relax允许编译器用“符号变量”（比如n）表
Vue2之 v-if VS v-show 问老大前端 javascript 开发语言 vue.js
Vue2中的v-if和v-show都是用来实现条件性渲染的指令，用于控制元素显示与隐藏的指令，但它们在实现机制和使用场景上有所不同：一、实现机制：1.1、v-if当条件表达式为真时，Vue.js会根据条件动态地创建或销毁对应的DOM元素。当条件为假时，Vue.js会销毁对应的DOM元素，并且从DOM中移除。每次条件改变时，Vue.js都会重新进行DOM的创建或销毁，这可能会导致性能开销较高，尤其是
【AI中数学-数理统计-综合实例-包括python实现】揭开数据的面纱：真实样本数据的探索与可视化云博士的AI课堂 AI中的数学人工智能 python 数理统计数据预处理数据探索数据可视化机器学习
第五章：数理统计-综合实例1.揭开数据的面纱：真实样本数据的探索与可视化在人工智能（AI）应用中，数据是构建算法和模型的基石，而数理统计则为我们提供了理解和处理这些数据的工具。数据探索和可视化是数理统计中至关重要的步骤，它们不仅能帮助我们理解数据的分布、关系和趋势，还能够为后续的建模工作提供依据。本节将通过五个实际案例，展示如何使用数理统计和可视化技术对真实样本数据进行探索。每个案例都包括具体的描
Apache Airflow 全面解析由数入道人工智能 apache Airflow
1.Airflow的定义与核心定位ApacheAirflow是一个开源的工作流自动化与调度平台，由Airbnb于2014年创建，2016年进入Apache孵化器，2019年成为顶级项目。其核心设计理念是“WorkflowsasCode”，通过编程方式定义、调度和监控复杂的数据流水线（Pipeline），适用于ETL、机器学习模型训练、数据湖管理、报表生成等场景。2.核心概念与架构解析2.1核心组件
数据结构与算法之排序: LeetCode 1356. 根据数字二进制下 1 的数目排序 (Ts版) Wang's Blog Data Structure and Algorithms 动态规划 leetcode 算法
根据数字二进制下1的数目排序https://leetcode.cn/problems/sort-integers-by-the-number-of-1-bits/description/描述给你一个整数数组arr。请你将数组中的元素按照其二进制表示中数字1的数目升序排序如果存在多个数字二进制中1的数目相同，则必须将它们按照数值大小升序排列请你返回排序后的数组示例1输入：arr=[0,1,2,3,4
java笔记--设计模式之装饰模式 2401_89693697 java 笔记设计模式
packagecom.example.design.decorate;publicclassConcreteComponentimplementsComponent{@OverridepublicvoiddoThingA(){//TODO自动生成的方法存根System.out.println("具体构件实现的抽象接口，dothingA");}}(3)装饰类角色packagecom.example.
AI人工智能代理工作流AI Agent WorkFlow：面向服务计算中的代理工作流管理 AI大模型应用之禅 AI大模型与大数据计算科学神经计算深度学习神经网络大数据人工智能大型语言模型 AI AGI LLM Java Python 架构设计 Agent RPA
AI人工智能代理工作流AIAgentWorkFlow：面向服务计算中的代理工作流管理关键词：人工智能，代理工作流，服务计算，自动执行，智能调度，协同处理，流程管理1.背景介绍1.1问题的由来随着互联网和云计算的快速发展，服务计算作为一种分布式计算模式，已经成为企业信息化建设的重要方向。在服务计算中，工作流技术被广泛应用于业务流程的建模、执行和管理。然而，传统的基于BPM（业务流程管理）的工作流管理
PTA6-4 计算两点之间距离（友元函数） 2301_78002904 c++算法开发语言
题目要求示例6-4计算两点之间距离（友元函数）分数10全屏浏览切换布局作者黄万丽单位曲阜师范大学现有一个类Point表示二维空间中的点，包含私有数据成员doublex和doubley，x表示该点的x坐标，y表示该点的y坐标。要求编写一个友元函数，输出两点之间的距离。输入说明：每一行四个数值，前两个数是第一个坐标点的x坐标和y坐标，后两个数是第二个坐标点的x坐标和y坐标。当输入四个0时表示输入结束。
Linux的Initrd机制被触发 linux
Linux 的 initrd 技术是一个非常普遍使用的机制，linux2.6 内核的 initrd 的文件格式由原来的文件系统镜像文件转变成了 cpio 格式，变化不仅反映在文件格式上， linux 内核对这两种格式的 initrd 的处理有着截然的不同。本文首先介绍了什么是 initrd 技术，然后分别介绍了 Linux2.4 内核和 2.6 内核的 initrd 的处理流程。最后通过对 Lin
maven本地仓库路径修改 bitcarter maven
默认maven本地仓库路径：C:\Users\Administrator\.m2 修改maven本地仓库路径方法： 1.打开E:\maven\apache-maven-2.2.1\conf\settings.xml 2.找到
XSD和XML中的命名空间 darrenzhu xml xsd schema namespace 命名空间
http://www.360doc.com/content/12/0418/10/9437165_204585479.shtml http://blog.csdn.net/wanghuan203/article/details/9203621 http://blog.csdn.net/wanghuan203/article/details/9204337 http://www.cn
Java 求素数运算周凡杨 java 算法素数
网络上对求素数之解数不胜数，我在此总结归纳一下，同时对一些编码，加以改进，效率有成倍热提高。第一种：原理: 6N(+-)1法任何一个自然数，总可以表示成为如下的形式之一： 6N，6N+1，6N+2，6N+3，6N+4，6N+5 (N=0，1，2，…)
java 单例模式 g21121 java
想必单例模式大家都不会陌生，有如下两种方式来实现单例模式： class Singleton { private static Singleton instance=new Singleton(); private Singleton(){} static Singleton getInstance() { return instance; }
Linux下Mysql源码安装 510888780 mysql
1.假设已经有mysql-5.6.23-linux-glibc2.5-x86_64.tar.gz (1)创建mysql的安装目录及数据库存放目录解压缩下载的源码包，目录结构，特殊指定的目录除外：
32位和64位操作系统墙头上一根草 32位和64位操作系统
32位和64位操作系统是指：CPU一次处理数据的能力是32位还是64位。现在市场上的CPU一般都是64位的，但是这些CPU并不是真正意义上的64 位CPU，里面依然保留了大部分32位的技术，只是进行了部分64位的改进。32位和64位的区别还涉及了内存的寻址方面，32位系统的最大寻址空间是2 的32次方= 4294967296（bit）= 4（GB）左右，而64位系统的最大寻址空间的寻址空间则达到了
我的spring学习笔记10-轻量级_Spring框架 aijuans Spring 3
一、问题提问： → 请简单介绍一下什么是轻量级？轻量级（Leightweight）是相对于一些重量级的容器来说的，比如Spring的核心是一个轻量级的容器，Spring的核心包在文件容量上只有不到1M大小，使用Spring核心包所需要的资源也是很少的，您甚至可以在小型设备中使用Spring。
mongodb 环境搭建及简单CURD antlove Web Install curd NoSQL mongo
一搭建mongodb环境 1. 在mongo官网下载mongodb 2. 在本地创建目录 "D:\Program Files\mongodb-win32-i386-2.6.4\data\db" 3. 运行mongodb服务 [mongod.exe --dbpath "D:\Program Files\mongodb-win32-i386-2.6.4\data\
数据字典和动态视图百合不是茶 oracle 数据字典动态视图系统和对象权限
数据字典（data dictionary）是 Oracle 数据库的一个重要组成部分，这是一组用于记录数据库信息的只读（read-only）表。随着数据库的启动而启动,数据库关闭时数据字典也关闭数据字典中包含数据库中所有方案对象（schema object）的定义(包括表，视图，索引，簇，同义词，序列，过程，函数，包，触发器等等) 数据库为一
多线程编程一般规则 bijian1013 java thread 多线程 java多线程
如果两个工两个以上的线程都修改一个对象，那么把执行修改的方法定义为被同步的，如果对象更新影响到只读方法，那么只读方法也要定义成同步的。不要滥用同步。如果在一个对象内的不同的方法访问的不是同一个数据，就不要将方法设置为synchronized的。
将文件或目录拷贝到另一个Linux系统的命令scp bijian1013 linux unix scp
一.功能说明 scp就是security copy，用于将文件或者目录从一个Linux系统拷贝到另一个Linux系统下。scp传输数据用的是SSH协议，保证了数据传输的安全，其格式如下： scp 远程用户名@IP地址：文件的绝对路径
【持久化框架MyBatis3五】MyBatis3一对多关联查询 bit1129 Mybatis3
以教员和课程为例介绍一对多关联关系，在这里认为一个教员可以叫多门课程，而一门课程只有1个教员教，这种关系在实际中不太常见，通过教员和课程是多对多的关系。示例数据：地址表： CREATE TABLE ADDRESSES ( ADDR_ID INT(11) NOT NULL AUTO_INCREMENT, STREET VAR
cookie状态判断引发的查找问题 bitcarter form cgi
先说一下我们的业务背景： 1.前台将图片和文本通过form表单提交到后台，图片我们都做了base64的编码，并且前台图片进行了压缩 2.form中action是一个cgi服务 3.后台cgi服务同时供PC，H5，APP 4.后台cgi中调用公共的cookie状态判断方法（公共的，大家都用，几年了没有问题）问题：（折腾两天。。。。） 1.PC端cgi服务正常调用，cookie判断没
通过Nginx,Tomcat访问日志(access log)记录请求耗时 ronin47
一、Nginx通过$upstream_response_time $request_time统计请求和后台服务响应时间 nginx.conf使用配置方式： log_format main '$remote_addr - $remote_user [$time_local] "$request" ''$status $body_bytes_sent "$http_r
java-67- n个骰子的点数。把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为S。输入n，打印出S的所有可能的值出现的概率。 bylijinnan java
public class ProbabilityOfDice { /** * Q67 n个骰子的点数 * 把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为S。输入n，打印出S的所有可能的值出现的概率。 * 在以下求解过程中，我们把骰子看作是有序的。 * 例如当n=2时，我们认为（1，2）和（2，1）是两种不同的情况 */ private stati
看别人的博客，觉得心情很好 Cb123456 博客心情
以为写博客，就是总结，就和日记一样吧，同时也在督促自己。今天看了好长时间博客: 职业规划: http://www.iteye.com/blogs/subjects/zhiyeguihua android学习: 1.http://byandby.i
[JWFD开源工作流]尝试用原生代码引擎实现循环反馈拓扑分析 comsci 工作流
我们已经不满足于仅仅跳跃一次，通过对引擎的升级，今天我测试了一下循环反馈模式，大概跑了200圈，引擎报一个溢出错误在一个流程图的结束节点中嵌入一段方程，每次引擎运行到这个节点的时候，通过实时编译器GM模块，计算这个方程，计算结果与预设值进行比较，符合条件则跳跃到开始节点，继续新一轮拓扑分析，直到遇到
JS常用的事件及方法 cwqcwqmax9 js
事件描述 onactivate 当对象设置为活动元素时触发。 onafterupdate 当成功更新数据源对象中的关联对象后在数据绑定对象上触发。 onbeforeactivate 对象要被设置为当前元素前立即触发。 onbeforecut 当选中区从文档中删除之前在源对象触发。 onbeforedeactivate 在 activeElement 从当前对象变为父文档其它对象之前立即
正则表达式验证日期格式 dashuaifu 正则表达式 IT其它 java其它
正则表达式验证日期格式 function isDate(d){ var v = d.match(/^(\d{4})-(\d{1,2})-(\d{1,2})$/i); if(!v) { this.focus(); return false; } } <input value="2000-8-8" onblu
Yii CModel.rules() 方法、validate预定义完整列表、以及说说验证 dcj3sjt126com yii
public array rules () {return} array 要调用 validate() 时应用的有效性规则。返回属性的有效性规则。声明验证规则，应重写此方法。每个规则是数组具有以下结构：array('attribute list', 'validator name', 'on'=>'scenario name', ...validation
UITextAttributeTextColor = deprecated in iOS 7.0 dcj3sjt126com ios
In this lesson we used the key "UITextAttributeTextColor" to change the color of the UINavigationBar appearance to white. This prompts a warning "first deprecated in iOS 7.0." Ins
判断一个数是质数的几种方法 EmmaZhao Math python
质数也叫素数，是只能被1和它本身整除的正整数，最小的质数是2，目前发现的最大的质数是p=2^57885161-1【注1】。判断一个数是质数的最简单的方法如下： def isPrime1(n): for i in range(2, n): if n % i == 0: return False return True 但是在上面的方法中有一些冗余的计算，所以
SpringSecurity工作原理小解读坏我一锅粥 SpringSecurity
SecurityContextPersistenceFilter ConcurrentSessionFilter WebAsyncManagerIntegrationFilter HeaderWriterFilter CsrfFilter LogoutFilter Use
JS实现自适应宽度的Tag切换 ini JavaScript html Web css html5
效果体验：http://hovertree.com/texiao/js/3.htm 该效果使用纯JavaScript代码，实现TAB页切换效果，TAB标签根据内容自适应宽度，点击TAB标签切换内容页。 HTML文件代码： <!DOCTYPE html> <html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml"
Hbase Rest API : 数据查询 kane_xie REST hbase
hbase（hadoop）是用java编写的，有些语言（例如python）能够对它提供良好的支持，但也有很多语言使用起来并不是那么方便，比如c#只能通过thrift访问。Rest就能很好的解决这个问题。Hbase的org.apache.hadoop.hbase.rest包提供了rest接口，它内嵌了jetty作为servlet容器。启动命令：./bin/hbase rest s
JQuery实现鼠标拖动元素移动位置（源码+注释）明子健 jquery js 源码拖动鼠标
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Postgresql 连表更新字段语法 update qifeifei PostgreSQL
下面这段sql本来目的是想更新条件下的数据，可是这段sql却更新了整个表的数据。sql如下： UPDATE tops_visa.visa_order SET op_audit_abort_pass_date = now() FROM tops_visa.visa_order as t1 INNER JOIN tops_visa.visa_visitor as t2 ON t1.
将redis,memcache结合使用的方案? tcrct redis cache
公司架构上使用了阿里云的服务，由于阿里的kvstore收费相当高，打算自建，自建后就需要自己维护，所以就有了一个想法，针对kvstore(redis)及ocs(memcache)的特点，想自己开发一个cache层，将需要用到list，set，map等redis方法的继续使用redis来完成，将整条记录放在memcache下，即findbyid，save等时就memcache，其它就对应使用redi
开发中遇到的诡异的bug wudixiaotie bug
今天我们服务器组遇到个问题：我们的服务是从Kafka里面取出数据，然后把offset存储到ssdb中，每个topic和partition都对应ssdb中不同的key，服务启动之后，每次kafka数据更新我们这边收到消息，然后存储之后就发现ssdb的值偶尔是-2,这就奇怪了，最开始我们是在代码中打印存储的日志，发现没什么问题，后来去查看ssdb的日志，才发现里面每次set的时候都会对同一个key