高中奥数 2021-08-13

2021-08-13-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P009 习题01）

在圆内接四边形中,、分别为、的中点.(1)证明:若与的平分线的交点恰好在上,则.(2)(1)的逆命题一定成立吗?

证明

(1)设为与平分线的交点.由角分线定理有

.(1)

由托勒密定理有.结合式(1)有

.(2)

.(3)

由式(2)得.

又,故.

同理,.

因此,,有.

故.(4)

又由式(1)知,这意味着与平分线的交点在上.

仿上述证法有,(5)

所以.

图1

(2)(1)的逆命题不一定成立设四边形为矩形,.

显然,,满足

.

但,说明与的平分线不在相交.

因此,逆命题为假命题.

图2

2021-08-13-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P009 习题02）

在锐角不等边中,A.设、分别是的外心、垂心,于点.令是直线上一点,满足.记是边的中点,直线与、与、与分别交于点、、.证明:、、、四点共圆.

证明

图3

如图,首先,由是中点,、分别为的外心,垂心,及欧拉定理知:、、、四点共线.

要证、、、四点共圆,由,知只需证,即.

图4

如图,作.则.由题设有.另一方面,由,知、、、四点共圆.因此,.作于点,于点.则

.

又.

于是.

从而.故

.

2021-08-13-03

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 图形的全等与相似 P009 习题03）

连结三角形内切圆的圆心和它的顶点的直线将原三角形分为三个三角形.若它们之中的一个三角形与原三角形相似,求三角形三个角的度数.

解

图5

如图,设的三个内角分别为、、,为其内切圆圆心.

点和的三个顶点的连线是其三个内角的平分线.

因为,,则

.

不失一般性,设和相似.于是等于,,中的一个.

若,则,即,这是不可能的.因此,或.

不妨设,则有或.

若是第一种情况,有,则,不可能.因此,,.于是,,.

因为,则即,则,,.