【算法】经典背包问题

作者：指针不指南吗
专栏：算法篇

或许会很慢，但是不可以停下来

acwing 背包问题——学习笔记

01背包、完全背包、多重背包、分组背包

引入Dp

Dp问题，先写出基本形式，然后优化，对代码进行等价变形

• 下面是Dp问题的分析基本流程

1.01背包

问题描述：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 $v_i$，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

（1）问题分析

「0-1 背包」即是不断对第 i 个物品的做出决策，「0-1」正好代表不选与选两种决定。

(2)代码实现

①基础版——二维

• f[i][j] 表示前 i 个物品，背包容量 j 下的最优解（最大价值）

• 当前背包容量不够（j < v[i]），没得选，因此前 i 个物品最优解即为前 i−1 个物品最优解：f[i][j]=f[i-1][j]

• 当前背包容量够，两种选择：第 i 个物品，放或者不放，取最大值：max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i])

  代码如下：

  #include
  using namespace std;
  
  const int N=1010; 
  
  int n,m; //n表示物品个数，m表示最大容量
  int v[N],w[N];  //v表示体积，w表示价值
  int f[N][N]; //f[i][j]表示前i个物体，前j个容量的最大价值
  
  int main()
  {
      cin>>n>>m;
  
      for(int i=1;i<=n;i++)
          cin>>v[i]>>w[i];
  
      //f[0][0~m] 表示0个物体，容量都是0，因为是全局变量，省略
  
      for(int i=1;i<=n;i++) 
          for(int j=0;j<=m;j++)
          {
              f[i][j]=f[i-1][j];
              if(j>=v[i]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
          }
  
      cout<<f[n][m]<<endl;
  
      return 0;
  }
  

②优化版——一维

• 整个转移方程中对于 i 这一维，只用到了i -1， 所以不需要记录所有的f[i]，只需要用单个变量记录即可（滚动数组），去除 f 数组的 i 这一维

• j 使用逆序枚举。如果我们按照正序枚举背包容量 j，即从小到大枚举，那么在更新 f[i][j] 时，可能会使用到f[i][j-w[i]] 这个状态，其中 w[i] 表示第 i 个物品的重量。这相当于在容量为j-w[i] 的情况下再次放入物品 i，与题目要求的 0/1 背包问题不符。

• 因此，为了避免每个物品多次被放入背包的情况，我们采用逆序枚举背包容量 j 的方式更新 DP 状态。在逆序枚举的过程中，我们保证 f[i][j] 在 f[i][j-w[i]] 之前被更新，从而确保每个物品只会被放入背包一次。

  代码如下：

  #include
  using namespace std;
  
  const int N=1010; 
  
  int n,m; //n表示物品个数，m表示最大容量
  int v[N],w[N];  //v表示体积，w表示价值
  int f[N];
  
  int main()
  {
      cin>>n>>m;
  
      for(int i=1;i<=n;i++)
          cin>>v[i]>>w[i];
  
     //优化成一维数组
      for(int i=1;i<=n;i++) 
          for(int j=m;j>=v[i];j--)
          {
             f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
          }
  
      cout<<f[m]<<endl;
  
      return 0;
  }
  

2.完全背包

问题描述：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

(1)问题分析

(2)代码实现

①基础版——二维/三重循环

• 问题分析部分已经讲的很清楚了

  代码如下：

  #include
  using namespace std;
  
  const int N=1010; 
  
  int n,m; //n表示物品个数，m表示最大容量
  int v[N],w[N];  //v表示体积，w表示价值
  int f[N][N]; //f[i][j]表示前i个物体，前j个容量的最大价值
  
  int main()
  {
      cin>>n>>m;
  
      for(int i=1;i<=n;i++)
          cin>>v[i]>>w[i];
  
      for(int i=1;i<=n;i++) 
          for(int j=0;j<=m;j++)
              for(int k=0;k*v[i]<=j;k++) //k表示第i个物品数量
                  f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
  
      cout<<f[n][m]<<endl;
  
      return 0;
  }
  

②优化版——一维/两重循环

• 发现规律

  f[i,j]=max(f[i-1,j],f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j-2*v]+2*w,f[i-1,j-3*v]+3*w,...)
  f[i,j-v]=max(       f[i-1,j-v]  ,f[i-1,j-2*v]+ w ,f[i-1,j-3*v]+2*w,...)
  由上两式，可得出如下递推关系： 
                          f[i][j]=max(f[i,j-v]+w,f[i-1][j]) 
  

  进行优化

  for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
  for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
  {
      f[i][j] = f[i-1][j];
      if(j-v[i]>=0)
          f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
  }
  

• 与01背包进行对比

  f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]) 01背包

  f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]) 完全背包问题

  并进一步优化

   for(int i = 1 ; i<=n ;i++)
      for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//这里的j是从小到大枚举，和01背包不一样
      {
              f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
      }
  

  代码如下：

  #include
  using namespace std;
  
  const int N=1010; 
  
  int n,m; //n表示物品个数，m表示最大容量
  int v[N],w[N];  //v表示体积，w表示价值
  int f[N];
  
  int main()
  {
      cin>>n>>m;
  
      for(int i=1;i<=n;i++)
          cin>>v[i]>>w[i];
  
      for(int i=1;i<=n;i++) 
          for(int j=v[i];j<=m;j++)
              f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
  
      cout<<f[m]<<endl;
  
      return 0;
  }
  

3.多重背包

问题描述：

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品 最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。

输出最大价值。

(1)问题分析

(2)代码实现

①基础版——二维/三重循环

• 上面问题分析讲的很清楚

  代码如下：

  #include
  using namespace std;
  
  const int N=110;
  
  int n,m;
  int v[N],w[N],s[N];
  int f[N][N];
  
  int main()
  {
      cin>>n>>m;
      
      for(int i=1;i<=n;i++)   cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
      
      for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=0;j<=m;j++)
              for(int k=0;k<=s[i]&&k*v[i]<=j;k++) //两重限制条件
                  f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]);
      
      cout<<f[n][m]<<endl;
      
      return 0;
  }
  

②优化版—一维 /二进制

• 当数据很大时，$O(n^3)$ 会超时，进行二进制优化

  题解链接： AcWing 5. 二进制优化，它为什么正确，为什么合理，凭什么可以这样分？？ - AcWing

  讲一下为什么二进制优化可以哈。

  题目的意思是某物品最多有s件，我们需要从所有的物品中选择若干件，使这个背包的价值最大。题目并没有说某物品一定需要选多少件出来，也没有说一共要选多少件出来。只是选择若干件，至于选几件，无所谓，但要保证价值最大。

  按照优化的策略某物品有s件，我们给其打包分成了好几个大的物品。

  第一个大物品是包含原来该物品的1件，第二个大物品是包含原来该物品的2件，第三个大物品是包含原来该物品的4件，第四个大物品是包含原来该物品的8件,…依次类推。此时我们就把所有的物品都重新进行了一个分类。

  原先每个物品最多s件，我们就把这个件数条件给消去了。取而代之的是，按照一定原先件数组合出来的新若干大物品。

  我们又已知按照我们划分成大物品进行搭配组合，一定能转化为原先的若干件小物品出来。

  并且选择某物品的最多件数，是不会超过原先该物品的s件。所以就转化为从下面这些若干件大物品中，选择能使背包容积最大大的情况下，价值最高。这个就是一个01问题。转自知名网友评论

  代码如下：

  #include
  using namespace std;
  
  const int N = 12010, M = 2010;
  
  int n, m;
  int v[N], w[N]; //逐一枚举最大是N*logS
  int f[M]; // 体积
  
  int main()
  {
      cin >> n >> m;
      int cnt = 0; //分组的组别
      for(int i = 1;i <= n;i ++)
      {
          int a,b,s;
          cin >> a >> b >> s;
          int k = 1; // 组别里面的个数
          while(k<=s)
          {
              cnt ++ ; //组别先增加
              v[cnt] = a * k ; //整体体积
              w[cnt] = b * k; // 整体价值
              s -= k; // s要减小
              k *= 2; // 组别里的个数增加
          }
          //剩余的一组
          if(s>0)
          {
              cnt ++ ;
              v[cnt] = a*s; 
              w[cnt] = b*s;
          }
      }
  
      n = cnt ; //枚举次数正式由个数变成组别数
  
      //01背包一维优化
      for(int i = 1;i <= n ;i ++)
          for(int j = m ;j >= v[i];j --)
              f[j] = max(f[j],f[j-v[i]] + w[i]);
  
      cout << f[m] << endl;
      return 0;
  }
  

4.分组背包

题目描述：

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 $v_{ij}$ ，价值是 $w_{ij}$ ，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

(1)问题分析

(2)代码实现

①基础版——二维

• 思路看上图

  代码如下：

  #include
  using namespace std;
  
  const int N=110;
  int f[N][N];  
  int v[N][N],w[N][N],s[N];  
  int n,m,k;
  
  int main(){
      cin>>n>>m;
      for(int i=1;i<=n;i++)
      {
          cin>>s[i];
          for(int j=0;j<s[i];j++)
          {
              cin>>v[i][j]>>w[i][j];  
          }
      }
  
      for(int i=1;i<=n;i++)
      {
          for(int j=0;j<=m;j++)
          {
              f[i][j]=f[i-1][j];  //不选
              for(int k=0;k<s[i];k++)
              {
                  if(j>=v[i][k])     
                      f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);  //01背包
              }
          }
      }
      cout<<f[n][m]<<endl;
  }
  
  

②优化版—一维

• 含有01背包，进行一维优化

  代码如下：

  #include
  using namespace std;
  
  const int N=110;
  
  //使用的上一层的f，从大到小枚举体积，使用本层，从小到大枚举体积
  //使用上一层，保证我们算这个所用到的体积，还没有被计算过，所以是存的上一层的状态
  
  int n,m;
  int v[N][N],w[N][N],s[N];
  int f[N];
  
  int main()
  {
      cin>>n>>m;
  
      for(int i=1;i<=n;i++)
      {
          cin>>s[i];
          for(int j=0;j<s[i];j++)
              cin>>v[i][j]>>w[i][j];
      }
  
      for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=m;j>=0;j--) //这里，使用的上一层，从大到小枚举
              for(int k=0;k<s[i];k++)
                  if(v[i][k]<=j)
                      f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
  
      cout<<f[m]<<endl;
  
      return 0;
  }