关于01背包问题和完全背包问题的笔记

前情提要

在代码随想录学习了动态规划二十来题后，想做一做笔记，记录一下对背包问题的理解和需要记住的地方，以下的所有代码均来自代码随想录的代码，图片来自于B站UP主一只小傲风的背包问题视频，

01背包问题

目前来看，01背包问题用来解决求和问题，从一个集合中选择多个数字，这些数字只能取一次。

01背包问题是可以使用二维数组和一维数组来解决，为什么二维能够压缩成一维呢，因为dp数组的取值取决于历史值，也就是dp[i-1]，如图1所示

图1

二维dp数组两层for循环正向遍历，可以任意交换遍历顺序，对问题结果的影响应该还是取决于问题本身（完全背包会详细提及该内容，目前没遇到过需要交换的01背包题目，所以是个人想法，不准确）；对于一维dp数组来说两层for循环不能交换顺序，必须先遍历物品再遍历背包且背包要倒序遍历，因为dp求值是需要历史数据，如果正序遍历，会改变历史数据（相当于重复拿某个物品，10背包问题不能重复拿），结果不准确了。

02完全背包问题

目前来看，完全背包问题用来解决求和问题，从一个集合中选择多个数字，这些数字能够取无限次。

01背包问题也是可以使用二维数组和一维数组来解决，但是一般使用一维数组搞定，此类问题的公式和dp递推选择范围如图2所示

图2

注意，完全背包问题使用正序的方向开始填写dp数组，不论是先背包还是先物品，无论是一维还是二维，因为该问题的dp填写需要用到当前行的dp值，这是与01背包问题的最大不同。此外，完全背包的两层for循环（先背包还是先物品）也是可以交换的，有没有对结果产生影响取决于需要解决的问题，如求背包最大值，求是否能装满背包，那么两层for交换对结果没有影响，要是是求装满背包的方式有几种之类的问题，那么就有影响，先遍历背包后遍历物品就是排列数（在意先后顺序），先遍历物品再遍历背包就是组合数（不在意先后顺序）。

二维数组下，完全背包问题的状态转移方程为max{dp[v-w[i]]+c[i],dp[v-1]}。不要和01背包问题的二维数组搞混了，虽然他们都是正序遍历。