动态规划（学习笔记）

• 动态规划核心是：穷举，然后使用dp数组将重叠子问题进行优化。

• 难点：列出状态转移方程

模板

明确 base case -> 明确「状态」-> 明确「选择」 -> 定义 dp 数组/函数的含义

# 初始化 base case
dp[0][0][...] = base
# 进行状态转移
for 状态1 in 状态1的所有取值：
    for 状态2 in 状态2的所有取值：
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 求最值(选择1，选择2...)

兑换零钱

• 题目：给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。你可以认为每种硬币的数量是无限的。
  链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change

• 解析：

1、确定 base case，这个很简单，显然目标金额 amount 为 0 时算法返回 0，因为不需要任何硬币就已经凑出目标金额了。

2、确定「状态」，也就是原问题和子问题中会变化的变量。由于硬币数量无限，硬币的面额也是题目给定的，只有目标金额会不断地向 base case 靠近，所以唯一的「状态」就是目标金额 amount。

3、确定「选择」，也就是导致「状态」产生变化的行为。目标金额为什么变化呢，因为你在选择硬币，你每选择一枚硬币，就相当于减少了目标金额。所以说所有硬币的面值，就是你的「选择」。

4、明确 dp 函数/数组的定义。我们这里讲的是自顶向下的解法，所以会有一个递归的 dp 函数，一般来说函数的参数就是状态转移中会变化的量，也就是上面说到的「状态」；函数的返回值就是题目要求我们计算的量。就本题来说，状态只有一个，即「目标金额」，题目要求我们计算凑出目标金额所需的最少硬币数量。所以我们可以这样定义 dp 函数：

dp(n) 的定义：输入一个目标金额 n，返回凑出目标金额 n 的最少硬币数量。

image.png

class Solution {
    public int coinChange(int[] coins, int amount) {     
        int[] dp = new int[amount + 1];
        Arrays.fill(dp, amount + 1);
        
        dp[0] = 0;  //base case
        //外层for循环在遍历所有状态的所有取值
        for(int i = 0; i < dp.length; i++) {
            //内层fro循环在求所有选择的最小值
            for(int coin : coins) {
                //子问题无解跳过
                if(i - coin < 0) {
                    continue;
                }
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i-coin] + 1);
            }
        }
        return dp[amount] == amount + 1 ? -1 : dp[amount];
    }
}

参考：https://labuladong.gitbook.io/algo/dong-tai-gui-hua-xi-lie/1.1-dong-tai-gui-hua-ji-ben-ji-qiao/dong-tai-gui-hua-xiang-jie-jin-jie#yi-fei-bo-na-qi-shu-lie