时间复杂度和空间复杂度的量化描述 Big O 表示法

C++数据结构与算法实现（目录）

时间复杂度和空间复杂度的最小单位是什么

在上面的文章里，我们给出了时间复杂度和空间复杂度的最小单位。

现在我们来量化描述各种算法（计算过程）的时间复杂度和空间复杂度。

如何量化时间复杂度和空间复杂度呢？

我们用时间复杂度和空间复杂度的最小单位的函数来表示。

比如，我想求 n 个整数的最大值。

空间复杂度怎么量化？

那么，我就需要 n 个内存空间来存储这 n 个整数。这时候我们就说求 n 个整数最大值的过程（算法），需要的空间复杂度为 O(n)。

时间复杂度怎么量化？

假设，这 n 个整数 连续的存储在一个数组中，那么需要的时间复杂度就是需要遍历这个 n 个整数。代码如下：

int max_num = array[0];
for(int i = 0; i < n; ++i)
{
    max_num = max(max_num, array[i]);
}
return max_num;

从代码中可以看出来，我们需要读取内存 次数为 1 + n * 3。

其中， 1 对应： int max_num = array[0]; 也就是给 max_num 初始化。

其中， n * 3 对应： for(i : 0 ~ n-1)  max_num = max(max_num, array[i])。 循环执行了[0~n-1] 次，也就是 n 次。 

循环的每一次，访问了几次内存呢？ 3 次。 

为何是 3 次呢？ 其实是 max_num = max(max_num, array[i]); 这条语句访问了 3 次内存。

读取 max_num 原来的值 1 次（读内存）， 读取 array[i] 的值 1 次（读内存）， 最后把 新的 max 求出来（这个比较是在CPU内部寄存器完成的，没有再发生内存读取），求出了 新的 max 之后 写回到内存覆盖 max_num 之前的值。 这时候 是 1 次写内存。

所以，总共是 2 次读内存， 1 次 写内存。 总共 是 3 次。

综上，求 n 个数的最大值，时间复杂度为 1 + n * 3。

由于随着 n 的规模变大， 常数 1 可以忽略。 比如， 1000000000 个整数的最大值，和 1000000001个整数的最大值，我们认为时间复杂度是相同的。

这样时间复杂度 就变成了 O(n*3) 。

另外，常数项系数，并没有从本质上改变复杂度。我们通常把常数项都改写为 1 来简化问题复杂度的描述。

这样以来，时间复杂度就变成了 O(n)。

练习：

类似的，下面的算法时间复杂度你知道是多少吗？

查询 n 个连续存放整数的 第一个元素的值 ： O(1)

在 n 个连续存放的整数，而且已经按照从小大顺序排好顺序的，数组中二分查找某个值是否存在于这个数组中：O(log2(n))

在 n 行，m 列的二维数组中（假设数据连续存放）查找一个值是否存在：O(n*m)