数据结构 | 第十五章：平衡搜索树——AVL树 | AVL树的搜索、插入、删除

定义

AVL树

• 空二叉树是AVL树。

• 如果T是一棵非空的二叉树，$T_L$和$T_R$分别是其左子树右子树，当T满足以下条件时，T是一棵AVL树。

  • $T_L$和$T_R$是AVL树
  • $|h_L-h_R|\le 1$，$h_L$和$h_R$分别是左子树和右子树的高度。

  1. 左右子树均是AVL树
  2. 左子树与右子树的高度之差的绝对值不超过1

AVL搜索树

• 既是二叉搜索树，也是AVL树

• AVL树：(a) (b) AVL搜索树：(b)

带索引的AVL搜索树

• 既是带索引的二叉搜索树，也是AVL树

AVL树特征

• n个节点的AVL树的高度是$O(logn)$。
• 对于每一个n（n≥0）值，都存在一棵AVL树。
  • 将一个新元素插入到一棵n元素的AVL搜索树中，可得到一棵n+1元素的AVL树，这种插入过程可以在$O(logn)$时间内完成。
  • 从一棵n元素的AVL搜索树中删除一个元素，可得到一棵n-1元素的AVL树，这种删除过程可以在$O(logn)$时间内完成。
• 一棵n元素的AVL搜索树能在$O(高度)=O(logn)$的时间内完成搜索。
• 一棵有n个节点的AVL树的高度
  • 至多：$lo{g}_2(n+2)$
  • 至少：$lo{g}_2(n+1)$

AVL树的描述

一般用链表方式来描述，要为每个节点增加一个平衡因子

• 平衡因子（Balance Factor）：节点x的平衡因子bf(x)定义为：x的左子树的高度-x的右子树的高度

• AVL树平衡因子的可能取值为：-1，0，和1

AVL搜索树的搜索

即二叉搜索树的搜索

AVL搜索树的插入

二叉搜索树的插入，但得到的树可能不再是AVL树，这时我们需要调整来恢复。每插入一个新节点时，就会调整树的结构。

• 在插入后，A的平衡因子是-2或2，当节点A 已经被确定时，A的不平衡性：

  1. LL：新插入节点在A节点的左子树的左子树中
  2. LR：新插入节点在A节点的左子树的右子树中
  3. RR：新插入节点在A节点的右子树的右子树中
  4. RL：新插入节点在A节点的右子树的左子树中

• 调整旋转类型

  1. 单旋转：矫正LL和RR型不平衡所作的转换

  2. 双旋转：矫正LR和RL型不平衡所作的转换

     对LR型不平衡的旋转可以看作RR旋转后的LL旋转

     旋转调整后——消除不和谐平衡因子

LL旋转

模型抽象

流程示例

RR旋转

模型抽象

流程示例

LR旋转

模型抽象

最后就是A,B,C三个最小的作为左子树，最大的作为右子树，中间大的作为根

流程示例

RL旋转

模型抽象

最后就是A,B,C三个最小的作为左子树，最大的作为右子树，中间大的作为根

流程示例

AVL树初始化（插入应用）

一道例题

⚠️易错提醒：判断是什么旋转要从最底下最先出现的不正常平衡因子那开始，比如上题在插入9后，要考虑是16\11\9LL旋转，而非7\16\11RL旋转

AVL搜索树的删除

通过执行二叉搜索树的删除，可从AVL搜索树中删除一个元素。但也会导致产生不平衡树。

删除操作参考搜索树的删除，指路14.3操作erase

设q：删除节点的父节点。

• 如果q新的平衡因子是0，那么它的高度减少了1，需要改变它的父节点（如果有的话）和其他某些祖先节点的平衡因子。

• 如果q新的平衡因子是-1或1，那么它的高度与删除前相同，无需改变其祖先的平衡因子值。

• 如果q新的平衡因子是-2或2，那么树在q节点是不平衡的，需要调整

  • 由删除操作产生的不平衡有六种类型：R0，R1，R-1，L0，L1，L-1。

R0旋转（L0镜像）

模型抽象

流程示例

R1旋转（L1镜像）

模型抽象

流程示例

R-1旋转（L-1镜像）

模型抽象

流程示例