数据结构 | 第十五章：平衡搜索树——B-树 | B-树的搜索、插入、删除

索引顺序访问方法ISAM

• 之前的数据结构中，我们默认数据都存放在同一存储介质中，如内存。

• 但在实际应用中，大型字典因为数据量过大一般存储在磁盘中，等到用的时候再从磁盘取出利用内存处理。

• 在磁盘中存取数据的速度比在内存中处理大概慢几十倍甚至百倍。所以对于存储在磁盘中的数据，存取所需要的数据需要访问磁盘的次数就变成了非常重要的指标。相比之下，将取出的数据在内存中处理耗费的时间可以忽略不计。

ISAM方法

可用的磁盘空间被划分为很多块，块是磁盘空间的最小单位，被用来作为输入和输出。字典元素以升序存储在块中。ISAM方法提供顺序访问和随机访问.

• 顺序访问：
  • 依次输入各个块，在每个块中按升序搜索元素。
  • 如果每个块中包含m个元素，搜索每个元素的磁盘访问次数是1/m.
• 随机访问：

  • 必须维护一个索引表

    • 索引一般足以驻留内存.

    • 随机访问关键字为k的元素：

      • 搜索索引表

      • 关键字为k的元素所属的块从磁盘读入内存

      • 在块中搜索关键字为k的元素

        一次随机访问需要一次磁盘访问

  • 当字典跨越几个磁盘时。元素按升序被分配到各个磁盘以及每个磁盘的不同块中。

    • 随机访问一个元素：

      • 搜索驻留内存的磁盘索引

      • 在相应磁盘中读入块索引并搜索元素所在的块

      • 从磁盘中读入块，并搜索元素

        一次随机访问需要两次磁盘访问

ISMA问题

当执行插入和删除操作时，会面临很大的问题——块间元素的移动

解决办法：在每个块中预留一些空间

• 插入少量元素时，不需要块和块之间移动元素
• 删除后，空间保留

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m叉搜索树

定义

m叉搜索树可以是一棵空树，如果非空，它必须满足以下特征：

1. 在相应的扩充搜索树中（用外部节点替换空指针），每个内部节点最多可以有m个子女及1~(m-1)个元素（外部节点不含元素和子女）。

2. 每个含p个元素的节点，有p+1个子女(包括外部节点)

3. 含p 个元素的任意节点，设$k_1,k_2\dots ,k_p$ 是这些元素的关键值。这些元素升序排列。设$c_0,c_1,\dots ,c_p$是该节点的p+1个孩子。

   • 以$c_0$ 为根的子树中的元素关键值小于$k_1$

   • 以$c_p$ 为根的子树中的元素关键值大于$k_p$

   • 以$c_i$ 为根的子树中的元素关键值会大于$k_i$ 而小于$k_{i+1}$，其中1≤i≤p。

     仔细对照上图理解性质

m叉搜索树的高度

高度：h（不包括外部节点）

元素数目：n

$h\le n\le m^h-1$（$lo{g}_m(n+1)\le h\le n$）

搜索、插入和删除操作需要的磁盘访问次数：O(h)

m叉搜索树的搜索

与二叉搜索树的搜索方法很相似，但注意实际中是从磁盘中取出在内存处理。

• 比如我们寻找上图的元素32：
  • 根据内存中索引地址找到根节点所在的磁盘块，把根节点和其中所有的元素及其指针读取到内存中，在内存中搜索节点中的元素。
  • 因为10<32<80,根据根节点的第二个孩子指针继续往下寻找，从磁盘读取节点。
  • 因为30<32<40,继续读取孩子节点，找到元素32，搜索成功。
  • 寻找元素32一共读取三次磁盘
• 如果寻找元素31
  • 最终会取出外部节点，算法结束，搜索失败(没有相应元素)。

m叉搜索树的插入

• 首先对m叉搜索树进行搜索，寻找是否与插入的节点相同的关键字的节点，如果有则算法失败。
• 如果没有找到与插入的节点相同的关键字节点
  • 首先判断节点是否可以容纳更多的元素，如果可以，按顺序插入。
  • 如果不可以，插入到下一层的外部节点中，并保持m叉搜索树的性质。

m叉搜索树的删除

删除，分三种情况

• 删除元素的相邻子树都为空

  例：删除20，84——简单地从节点中删除

  前

  后

  

• 删除元素的相邻子树一个不为空

  例：删除5——从不空的相邻子树中找一个元素替换被删除元素

  前

  后

• 删除元素的相邻子树都不空

  例：删除10——从不空的相邻子树中找一个元素替换被删除元素

  前

  后

  

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m阶B-树

ISAM是一种数组（公式化）描述方法，而公式化描述的缺点就是不适用于频繁的插入和删除操作，难以扩展。

B树便是一种树形描述方法，B树只适用于随机检索，一次搜索访问磁盘的次数最多为树的高度ｈ。可是B树的优势为便于扩展，在插入与删除上的表现要优于ISAM。

定义

m阶B-树（B-Trees of Order m）是一棵m叉搜索树，如果B-树非空，那么相应的扩充树满足下列特征：

• 根节点至少有2个孩子。
• 除了根节点以外，所有内部节点至少有$m/2$个孩子。
• 所有外部节点位于同一层上。

2阶B-树→二阶B-树的所有内部节点都恰好有2个孩子。

• 2阶B-树是一棵满二叉树（所有外部节点必须在同一层上）

3阶B-树

• 3阶B-树的内部节点既可以有2个也可以有3个孩子，因此也把三阶B-树称作 2-3树

4阶B-树

• 4阶B-树的内部节点必须有2个、3个或4个孩子，这种树也叫作2-3-4树（或简称2，4树）。

B-树的高度

令$d=m/2$ ，对于一棵高度为h的m阶B树（外部节点不算元素）。

• 元素数目n最小：$2d^{h-1}-1$

• 元素数目n最大：$m^h-1$

• 

• $lo{g}_m(n+1)\le h\le lo{g}_d((n+1)/2)+1$

B-树的搜索

与m叉搜索树的搜索算法相同，访问磁盘次数最多为h。

B-树的插入

插入实现思路

• 插入操作首先执行搜索算法，如果找到相同关键字元素，插入失败，算法结束。
• 否则找到相应的位置，插入
  • 如果插入后节点中的元素个数不大于m-1,算法结束，插入成功。
  • 如果插入后节点中的元素个数为m，从d处开始分裂。
    • 节点中第d大的元素作为溢出元素，插入到父节点。
    • 节点中分开的两部分分别做溢出元素的“左右子树”。
• 因为溢出节点插入到上一层后，上一层又可能溢出，最坏的情况下需要一直分裂到根节点。

一个裂到根的流程示例

磁盘访问的总次数

假设:B-树的高度：h ，s个节点分裂，磁盘访问次数：h+2s+1

• 1：回写新的根节点或插入后没有导致分裂的节点
• 最多：3h+1

如上：Insert(44)

• 搜索44：3
• 3个节点被分裂（split）：6（每个节点被分裂：2次写操作）
• 产生一个新的根节点并写回磁盘：1
• 磁盘访问的总次数： 10

B-树的删除

删除分为三种情况

• 情况①：在某一节点删除元素后，节点的元素个数仍大于等于d-1, 直接删除元素，算法结束。
• 情况②：在某一节点删除元素后，节点的元素个数小于d-1，但其最邻近的左兄弟或右兄弟节点的元素个数大于d-1，那么：
  • "薅"一个父节点中的元素
  • 再将兄弟节点中的元素"还"一个给父节点
• 情况③：在某一节点删除元素后，节点的元素个数小于d-1，并且其最邻近的左兄弟和右兄弟节点的元素个数都等于d-1。
• 我们还是"薅"一个父节点的元素，但拿了之后，孩子节点没有多余的元素可以还给他，并且父节点可容纳的孩子数少了一个。
• 于是我们将节点与一兄弟节点进行合并，将两个孩子节点组成一个新的孩子节点。
  • 而且父节点的元素被薅了一个之后，父节点的元素数量可能小于d-1，需要继续往上"薅"，最坏的情况下需要薅到根节点。

从下图中删除元素10：

对应第三种情况

空节点继续往上"薅"，对应第二种情况

一个薅到根的流程实例

磁盘访问次数

磁盘访问次数=搜索次数+读取最相邻兄弟次数+修改后节点写回次数

如上delete(44)

• 搜索 44： 4
• 读取最相邻的兄弟：3
• 修改后的节点写回：3 ((35,40),(20,30),(50,80))
• 磁盘访问的总次数：10

对于高度为h的B-树的删除操作的最坏情况：磁盘访问次数是3h

• 找到包含被删除元素的节点： h次读访问
• 获取第2至h层的最相邻兄弟：h-1次读访问
• 在第3至h层的合并：h-2次写访问
• 对修改过的根节点和第2层的两个节点：3次写访问。

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B+树

定义

B+树是一种常用于文件组织的B-树的变形树。一棵m阶的B＋树和B-树的差异在于：

• 所有的叶子结点中包含了全部关键字的信息，及指向含这些关键字记录的指针
• 叶子结点的本身依关键字的大小从小到大顺序链接。
• 所有的非终端结点可以看成是索引部分，结点中仅含有其子树（根结点）中最大（或最小）关键字。
• 通常在B＋树上有两个头指针，一个指向根结点，另一个指向关键字最小的叶子结点。

B+树的搜索

• 可进行两种查找运算
  • 一种是从最小关键字起进行顺序查找
  • 另一种是从根结点开始进行随机查找。
• 在查找时，若非叶结点上的关键字等于给定值，并不终止，而是继续向下直到叶子结点。因此，在B+树中，不管查找成功与否，每次查找都是走了一条从根到叶子结点的路径

B+树的插入

• B+树的插入仅在叶子结点上进行，当结点中的关键字个数大于m时要分裂成两个结点，它们所含关键字的个数分别为：$(m+1)/2$和$(m+1)/2$
• 并且它们的双亲结点中应同时包含这两个结点的最大关键字。

B+树的删除

• B+树的删除仅在叶子结点进行，当叶子结点中的最大关键字被删除时，其在非终端结点中的值可以作为一个"分界关键字"存在。
• 若因删除而使结点中关键字的个数少于$m/2$时，则可能要和该结点的兄弟结点合并，合并过程和B-树类似。

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参考博客
插入删除等操作所参考学习的优质博客
推荐网站
一个可以在线演示B-树插入删除的神奇网站