深度学习——线性神经网络二

深度学习——线性神经网络二

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前言

书接上章，继续线性神经网络的学习，本章将主要讲softmax回归
参考书：
《动手学深度学习》

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一、softmax回归

softmax回归是一种多分类模型,也称为多项的Logistic回归，是Logistic回归在多分类问题上的推广。它可以将输入向量映射为一个概率分布，用于预测属于每个类别的概率。

1.1. 分类问题

我们从一个图像分类问题开始。 假设每次输入是一个2×2的灰度图像。
我们可以用一个标量表示每个像素值，每个图像对应四个特征x1,x2,x3,x4。 此外，假设每个图像属于类别“猫”“鸡”和“狗”中的一个。

接下来，我们要选择如何表示标签。 我们有两个明显的选择：

1. 最直接的想法是选择y∈{1,2,3}， 其中整数分别代表{狗,猫,鸡}。
2. 如果类别间有一些自然顺序， 比如说我们试图预测{婴儿,儿童,青少年,青年人,中年人,老年人}， 那么将这个问题转变为回归问题，并且保留这种格式是有意义的。

统计学家很早以前就发明了一种表示分类数据的简单方法：独热编码。 独热编码是一个向量，它的分量和类别一样多。
类别对应的分量设置为1，其他所有分量设置为0。

在我们的例子中，标签y将是一个三维向量， 其中(1,0,0)对应于“猫”、(0,1,0)对应于“鸡”、(0,0,1)对应于“狗”：

y∈{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.

1.2. 网络架构

在我们的例子中，由于我们有4个特征和3个可能的输出类别， 我们将需要12个标量来表示权重（带下标的w）， 3个标量来表示偏置（带下标的b）。 下面我们为每个输入计算三个未规范化的预测（logit）：o1、o2和o3。

$$\begin{array}{rl}{o}_1& =x_1{w}_{11}+x_2{w}_{12}+x_3{w}_{13}+x_4{w}_{14}+b_1,\\ o_2& =x_1{w}_{21}+x_2{w}_{22}+x_3{w}_{23}+x_4{w}_{24}+b_2,\\ o_3& =x_1{w}_{31}+x_2{w}_{32}+x_3{w}_{33}+x_4{w}_{34}+b_3.\end{array}$$
如图所示：

为了更简洁地表达模型，我们仍然使用线性代数符号。
通过向量形式表达为$\mathbf{o}=\mathbf{Wx}+\mathbf{b}$，

由此，我们已经将所有权重放到一个$3\times 4$矩阵中。 对于给定数据样本的特征$\mathbf{x}$，
我们的输出是由权重与输入特征进行矩阵-向量乘法再加上偏置$\mathbf{b}$得到的。

1.3. 全连接层的参数开销

在深度学习中，全连接层无处不在。 全连接层是“完全”连接的，可能有很多可学习的参数。

具体来说，对于任何具有$d$个输入和$q$个输出的全连接层，
参数开销为$\mathcal{O}(dq)$，这个数字在实践中可能高得令人望而却步。
幸运的是，将$d$个输入转换为$q$个输出的成本可以减少到$\mathcal{O}(\frac{dq}{n})$，
其中超参数$n$可以由我们灵活指定，以在实际应用中平衡参数节约和模型有效性

1.4. softmax运算

现在我们将优化参数以最大化观测数据的概率。
为了得到预测结果，我们将设置一个阈值，如选择具有最大概率的标签。

我们希望模型的输出${\hat{y}}_j$可以视为属于类$j$的概率，然后选择具有最大输出值的类别${\mathrm{argmax}}_j{y}_j$作为我们的预测。

例如，如果${\hat{y}}_1$、${\hat{y}}_2$和${\hat{y}}_3$分别为0.1、0.8和0.1

那么我们预测的类别是2，在我们的例子中代表“鸡”。

但我们不能将未规范化的预测$o$直接视作我们感兴趣的输出

因为将线性层的输出直接视为概率时存在一些问题：
一方面，我们没有限制这些输出数字的总和为1。
另一方面，根据输入的不同，它们可以为负值。

要将输出视为概率，我们必须保证在任何数据上的输出都是非负的且总和为1。

softmax函数能够将未规范化的预测变换为非负数并且总和为1，同时让模型保持可导的性质。

为了完成这一目标，我们首先对每个未规范化的预测求幂，这样可以确保输出非负。
为了确保最终输出的概率值总和为1，我们再让每个求幂后的结果除以它们的总和。如下式：

$$\hat{\mathbf{y}}=\mathrm{softmax}(\mathbf{o})\text{其中}{\hat{y}}_j=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_k\exp (o_k)}$$

softmax运算不会改变未规范化的预测$\mathbf{o}$之间的大小次序，只会确定分配给每个类别的概率。
因此，在预测过程中，我们仍然可以用下式来选择最有可能的类别。

$$\underset{j}{\mathrm{argmax}}{\hat{y}}_j=\underset{j}{\mathrm{argmax}}{o}_j.$$

尽管softmax是一个非线性函数，但softmax回归的输出仍然由输入特征的仿射变换决定。因此，softmax回归是一个线性模型。

1.5. 小批量样本的向量化

为了提高计算效率并且充分利用GPU，我们通常会对小批量样本的数据执行向量计算。

假设我们读取了一个批量的样本$\mathbf{X}$，
其中特征维度（输入数量）为$d$，批量大小为$n$。
此外，假设我们在输出中有$q$个类别。
那么小批量样本的特征为$\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$，权重为$\mathbf{W}\in {\mathbb{R}}^{d\times q}$，偏置为$\mathbf{b}\in {\mathbb{R}}^{1\times q}$。
softmax回归的向量计算表达式为：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{O}& =\mathbf{XW}+\mathbf{b},\\ \hat{\mathbf{Y}}& =\mathrm{softmax}(\mathbf{O}).\end{array}$$

小批量样本的向量化加快了$\mathbf{X}和\mathbf{W}$的矩阵-向量乘法。

对于$\mathbf{O}$的每一行，我们先对所有项进行幂运算，然后通过求和对它们进行标准化。$\mathbf{XW}+\mathbf{b}$的求和会使用广播机制，

小批量的未规范化预测$\mathbf{O}$和输出概率$\hat{\mathbf{Y}}$都是形状为$n\times q$的矩阵。

1.6. 损失函数

我们需要一个损失函数来度量预测的效果。我们将使用最大似然估计，这与在线性回归中的方法相同。

1.6.1. 对数似然

softmax函数给出了一个向量$\hat{\mathbf{y}}$，
我们可以将其视为“对给定任意输入$\mathbf{x}$的每个类的条件概率”。
例如，${\hat{y}}_1$=$P(y=\text{猫}\mid \mathbf{x})$。
假设整个数据集$\{\mathbf{X},\mathbf{Y}\}$具有$n$个样本，
其中索引$i$的样本由特征向量${\mathbf{x}}^{(i)}$和独热标签向量${\mathbf{y}}^{(i)}$组成。
我们可以将估计值与实际值进行比较：

$$P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\prod _{i=1}^{n}P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)}).$$

根据最大似然估计，我们最大化$P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})$，相当于最小化负对数似然：

$$-\log P(\mathbf{Y}\mid \mathbf{X})=\sum _{i=1}^n-\log P({\mathbf{y}}^{(i)}\mid {\mathbf{x}}^{(i)})=\sum _{i=1}^{n}l({\mathbf{y}}^{(i)},{\hat{\mathbf{y}}}^{(i)}),$$

其中，对于任何标签$\mathbf{y}$和模型预测$\hat{\mathbf{y}}$，损失函数为：

$$l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-\sum _{j=1}^q{y}_j\log {\hat{y}}_j.$$

通常被称为交叉熵损失（cross-entropy loss）。
由于$\mathbf{y}$是一个长度为$q$的独热编码向量，
所以除了一个项以外的所有项$j$都消失了。
由于所有${\hat{y}}_j$都是预测的概率，所以它们的对数永远不会大于$0$。
因此，如果正确地预测实际标签，即如果实际标签$P(\mathbf{y}\mid \mathbf{x})=1$，
则损失函数不能进一步最小化。
注意，这往往是不可能的。
例如，数据集中可能存在标签噪声（比如某些样本可能被误标），
或输入特征没有足够的信息来完美地对每一个样本分类。

1.6.2. softmax及其导数

利用softmax的定义，我们代入得到：

$$\begin{array}{rl}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})& =-\sum _{j=1}^q{y}_j\log \frac{\exp (o_j)}{{\sum }_{k=1}^q\exp (o_k)}\\ & =\sum _{j=1}^q{y}_j\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j\\ & =\log \sum _{k=1}^q\exp (o_k)-\sum _{j=1}^q{y}_j{o}_j.\end{array}$$

考虑相对于任何未规范化的预测$o_j$的导数，我们得到：

$${\partial }_{o_j}l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=\frac{\exp (o_j)}{{\sum }_{k=1}^q\exp (o_k)}-y_j=\mathrm{softmax}(\mathbf{o}{)}_j-y_j.$$

换句话说，导数是我们softmax模型分配的概率与实际发生的情况（由独热标签向量表示）之间的差异。

从这个意义上讲，这与我们在回归中看到的非常相似， 其中梯度是观测值$y$和估计值$\hat{y}$之间的差异。
这不是巧合，在任何指数族分布模型中，对数似然的梯度正是由此得出的。

1.6.3. 交叉熵损失

对于标签$\mathbf{y}$，我们可以使用与以前相同的表示形式。唯一的区别是，我们现在用一个概率向量表示，如$(0.1,0.2,0.7)$，而不是仅包含二元项的向量$(0,0,1)$。

我们使用 $$l(\mathbf{y},\hat{\mathbf{y}})=-\sum _{j=1}^q{y}_j\log {\hat{y}}_j.$$来定义损失$l$，它是所有标签分布的预期损失值。
此损失称为交叉熵损失（cross-entropy loss），它是分类问题最常用的损失之一。

1.7. 信息论基础

信息论（information theory）涉及编码、解码、发送以及尽可能简洁地处理信息或数据。

1.7.1 熵

信息论的核心思想是量化数据中的信息内容。
在信息论中，该数值被称为分布$P$的熵（entropy）。可以通过以下方程得到：

$$H[P]=\sum _j-P(j)\log P(j).$$

1.7.2. 信息量

压缩与预测有什么关系呢？ 想象一下，我们有一个要压缩的数据流。 如果我们很容易预测下一个数据，那么这个数据就很容易压缩。 为什么呢？
举一个极端的例子，假如数据流中的每个数据完全相同，这会是一个非常无聊的数据流。 由于它们总是相同的，我们总是知道下一个数据是什么。

所以，为了传递数据流的内容，我们不必传输任何信息。也就是说，“下一个数据是xx”这个事件毫无信息量。

但是，如果我们不能完全预测每一个事件，那么我们有时可能会感到"惊异"。

克劳德·香农决定用信息量$\log \frac{1}{P(j)}=-\log P(j)$来量化这种惊异程度。
在观察一个事件$j$时，并赋予它（主观）概率$P(j)$。
当我们赋予一个事件较低的概率时，我们的惊异会更大，该事件的信息量也就更大。

熵是当分配的概率真正匹配数据生成过程时的信息量的期望。

1.7.3. 重新审视交叉熵

可以把熵$H(P)$想象为“知道真实概率的人所经历的惊异程度”，

交叉熵从$P$到$Q$，记为$H(P,Q)$。
我们可以把交叉熵想象为“主观概率为$Q$的观察者在看到根据概率$P$生成的数据时的预期惊异”。

当$P=Q$时，交叉熵达到最低。
在这种情况下，从$P$到$Q$的交叉熵是$H(P,P)=H(P)$。

简而言之，我们可以从两方面来考虑交叉熵分类目标：

1. 最大化观测数据的似然
2. 最小化传达标签所需的惊异。

1.8. 模型预测和评估

在训练softmax回归模型后，给出任何样本特征，我们可以预测每个输出类别的概率。

通常我们使用预测概率最高的类别作为输出类别。如果预测与实际类别（标签）一致，则预测是正确的。我们将使用精度（accuracy）来评估模型的性能。

精度等于正确预测数与预测总数之间的比率。

二、图像分类数据集

2.1.读取数据集

通过框架中的内置函数将Fashion-MNIST数据集下载并读取到内存中，转换过程将图像从原始的图片格式（如JPEG、PNG等）转化为数字格式，以便于在计算机中进行处理和分析。

如果你第一次运行代码时尚未下载数据集，它会自动进行下载。如果你之后再次运行代码，它不会重新下载数据集，而是直接加载已经下载好的数据集。这样可以避免重复下载相同的数据集。

#图像分类数据集：
import torch
import torchvision
from torch.utils import data
from torchvision import transforms
from d2l import torch as d2l
d2l.use_svg_display()


# 通过ToTensor实例将图像数据从PIL类型变换成32位浮点数格式，并除以255使得所有像素的数值均在0～1之间
trans = transforms.ToTensor()
mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(root= "../data",train=True,transform=trans,download=True)
mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
    root="../data", train=False, transform=trans, download=True)

print(len(mnist_train), len(mnist_test))
print(mnist_train[0][0].shape)



#结果：
60000 10000
torch.Size([1, 28, 28])

每个输入图像的高度和宽度均为28像素。 数据集由灰度图像组成，其通道数为1。

Fashion-MNIST中包含的10个类别， 以下函数用于在数字标签索引及其文本名称之间进行转换:

def get_fashion_mnist_labels(labels):
    #返回Fashion-MNIBT数据集的文本标签
    text_labels = ['t-shirt', 'trouser', 'pullover', 'dress', 'coat',
                   'sandal', 'shirt', 'sneaker', 'bag', 'ankle boot']
    return [text_labels[int(i)] for i in labels]

#创建一个函数来可视化这些样本。
def show_images(imgs, num_rows, num_cols, titles=None, scale=1.5):  #@save
    """绘制图像列表"""
    figsize = (num_cols * scale, num_rows * scale)
    _, axes = d2l.plt.subplots(num_rows, num_cols, figsize=figsize)
    axes = axes.flatten()
    for i, (ax, img) in enumerate(zip(axes, imgs)):
        if torch.is_tensor(img):
            # 图片张量
            ax.imshow(img.numpy())
        else:
            # PIL图片
            ax.imshow(img)
        ax.axes.get_xaxis().set_visible(False)
        ax.axes.get_yaxis().set_visible(False)
        if titles:
            ax.set_title(titles[i])
    return axes


#以下是训练数据集中前几个样本的图像及其相应的标签
X, y = next(iter(data.DataLoader(mnist_train, batch_size=18)))
show_images(X.reshape(18, 28, 28), 2, 9, titles=get_fashion_mnist_labels(y))
d2l.plt.show()

2.2. 读取小批量

为了使我们在读取训练集和测试集时更容易，我们使用内置的数据迭代器，而不是从零开始创建。
通过内置数据迭代器，我们可以随机打乱了所有样本，从而无偏见地读取小批量。

batch_size = 256

def get_dataloader_workers():  #@save
    """使用4个进程来读取数据"""
    return 4

train_iter = data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                                num_workers=get_dataloader_workers())


#看一下读取训练数据所需的时间
timer = d2l.Timer()
for X, y in train_iter:
    continue
print(f'{timer.stop():.2f} sec')


#结果：
4.31 sec

2.3. 整合所有组件

现在我们定义load_data_fashion_mnist函数，
用于获取和读取Fashion-MNIST数据集。 这个函数返回训练集和验证集的数据迭代器。 此外，这个函数还接受一个可选参数resize，用来将图像大小调整为另一种形状。

def load_data_fashion_mnist(batch_size, resize=None):  #@save
    """下载Fashion-MNIST数据集，然后将其加载到内存中"""
    trans = [transforms.ToTensor()]
    if resize:
        trans.insert(0, transforms.Resize(resize))
    trans = transforms.Compose(trans)
    mnist_train = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="../data", train=True, transform=trans, download=True)
    mnist_test = torchvision.datasets.FashionMNIST(
        root="../data", train=False, transform=trans, download=True)
    return (data.DataLoader(mnist_train, batch_size, shuffle=True,
                            num_workers=get_dataloader_workers()),
            data.DataLoader(mnist_test, batch_size, shuffle=False,
                            num_workers=get_dataloader_workers()))


#通过指定resize参数来测试load_data_fashion_mnist函数的图像大小调整功能。
train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(32, resize=64)
for X, y in train_iter:
    print(X.shape, X.dtype, y.shape, y.dtype)
    break


#结果”
torch.Size([32, 1, 64, 64]) torch.float32 torch.Size([32]) torch.int64
#X.shape：代表它的每个批次包含32个样本。每个样本的形状是(1, 64, 64)，像素由原来的28变为了64

我们现在已经准备好使用Fashion-MNIST数据集，便于之后调用来评估各种分类算法。

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总结

本章讲述了softmax回归的原理，并且下载好了Fashion-MNIST数据集便于后续分析使用。

是以圣人之治，虛其心，實其腹，弱其志，強其骨。常使民無知

–2023-9-19 进阶篇