其他算法-Dijkstra

连通图

图中从一个顶点到达另一顶点，若存在至少一条路径，则称这两个顶点是连通着的。例如下图，虽然 V1 和 V3 没有直接关联，但从 V1 到 V3 存在两条路径，分别是 V1-V2-V3 和 V1-V4-V3，因此称 V1 和 V3 之间是连通的：

无向图中，如果任意两个顶点之间都能够连通，则称此无向图为连通图。若无向图不是连通图，但图中存储某个子图符合连通图的性质，则称该子图为连通分量；

在一幅有向图中，如果从顶点v有一条有向路径可到达顶点w，则顶点w是从顶点v可达的。如果两个顶点互相可达，则它们是强连通的。如果一幅有向图中任意两个顶点都是强连通的，则这幅有向图也是强连通的。

强连通性将所有顶点分成了平等的部分，每个部分都是由相互均为强连通的顶点的最大子集组成。这些子集称为强连通分量(强连通分支)。

Dijkstra简介

Dijkstra算法（地杰斯特拉），用于求单源图的最短路径，作者是Edsger Wybe Dijkstra，荷兰人，于1959年提出该算法；

输入：

• 1.（连通）带权（有向）图；无向图是特殊的有向图，节点A与B连接可以看作节点A指向节点B且节点B也指向节点A；
• 2.起点 s（源），由于图中只有一个源，故称为单源图；
• 3.所有边的权，注意应该是非负数；

输出为源 s 到各个节点的最短路长度；

算法过程

Dijkstra的本质是贪心算法，设置节点编号为{$0,...,n-1$}，起点任取$0\le s<n$；初始化距离数组$d$：
$$d[s]=0,d[i]=\infty ,0\le i<n,i\ne s$$
算法流程为：

• 1.设置节点集合$V=\left\{\right\}$为空集，并初始化距离数组；
• 2.循环$n$次：
  a.找到$i\notin V$，且$d[i]$值最小的节点$i$；
  b.$V=V+i$，找到所有满足$j\notin V$的边$(i,j)$，进行更新：
  $$d[j]=min(d[j],d[i]+weight(i,j))$$