二次型的概念

二次型的概念

• 关于变量$x_1,x_2,..,x_n$的实二次齐次多项式$$f(x_1,..,x_n)=a_{11},x_1^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+...+2a_{1n}{x}_1{x}_n+...+a_{nn}{x}_n^2=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$称为$n$元实二次型，简称二次型.
• 设$A$为实对称矩阵，其中$a_{ij}=a_{ji}$，对于$x=(x_1,x_2,...,x_n{)}^T$考虑$x^{T}Ax$，则$$f(x_1,..,x_n)=x^{T}Ax$$，其中$A$的主对角线上的元素为二次型平方项的系数，$A$称为二次型$f(x_1,..,x_n)$的矩阵，$A$的秩为二次型$f(x_1,..,x_n)$的秩。
• 二次型与实对称矩阵为一一对应的，但与普通矩阵不是一一对应的。